Résumé — Géométrie dans l'espace: partie 1

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (avec $\vec{v}\neq \vec{0}$) sont colinéaires s'il existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tel que :

$$\vec{u}=\lambda\vec{v}$$

En coordonnées

$\vec{u}=(x;y;z)$ et $\vec{v}=(x';y';z')$ sont colinéaires $\iff$ leurs coordonnées sont proportionnelles.

Exemple

$\vec{u}=(2;4;-6)$ et $\vec{v}=(1;2;-3)$ : $\vec{u}=2\vec{v}$, donc colinéaires. En revanche $\vec{w}=(1;2;0)$ n'est pas colinéaire à $\vec{v}$.

Combinaison linéaire

Un vecteur $\vec{u}$ est une combinaison linéaire de $\vec{v}$ et $\vec{w}$ s'il existe $t,t'\in\mathbb{R}$ tels que :

$$\vec{u}=t\vec{v}+t'\vec{w}$$

En pratique

On résout le système obtenu en égalant les trois coordonnées.

Exemple

$\vec{v}=(1;0;0)$, $\vec{w}=(0;1;0)$, $\vec{u}=(2;3;0)$ : $\vec{u}=2\vec{v}+3\vec{w}$.

Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres.

1

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non colinéaires : $\vec{w}$ est coplanaire à $\vec{u},\vec{v}$ $\iff$ $\vec{w}=t\vec{u}+t'\vec{v}$ pour certains $t,t'$.

2

Sinon (système incompatible) : les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

Exemple : $\vec{u}=(1;0;0)$, $\vec{v}=(0;1;0)$, $\vec{w}=(1;1;0)$ sont coplanaires ($\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$). Avec $\vec{w}'=(0;0;1)$, le système est incompatible : non coplanaires.

Fiches résumé

Géométrie dans l'espace: partie 1

Géométrie dans l'espace — Partie 1