2

Exercice 2

Polynésie • Jour 1 • 16 juin 2026
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. Soit $f(x)=(x+1)\mathrm e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.

    Affirmation 1 : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.

  2. Soit $g(x)=x\mathrm e^{x}$ sur $\mathbb{R}$.

    Affirmation 2 : $g$ est convexe sur $[-2\,;\,+\infty[$.

  3. Affirmation 3 : Une IPP donne $\displaystyle\int_{0}^{\pi} x\sin x\,\mathrm dx=-\pi$.
  4. Soit $(E):\ y'=2y-5$ et $h(x)=-\dfrac{3}{2}\mathrm e^{2x}+\dfrac{5}{2}$.

    Affirmation 4 : $h$ est la solution de $(E)$ qui vaut $1$ en $0$.

  5. Fonction Python mystere (produit $1\times\cdots\times n$).

    Affirmation 5 : mystere(5) renvoie $120$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles
Calcul intégral
Dérivation et convexité
Limites de fonctions

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Convexité et dérivée seconde Fonction exponentielle Intégration par parties Algorithme Python

Solution écrite

Polynésie 16 juin 2026 J1

  1. Croissances comparées : $x\mathrm e^{-x}\to 0$ et $\mathrm e^{-x}\to 0$. D'après les croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm e^{x}}{x}=+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\mathrm e^{-x}=0$. De plus $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^{-x}=0$. Par somme, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\bigl(x\mathrm e^{-x}+\mathrm e^{-x}\bigr)=0\neq +\infty$.
    Affirmation 1 : FAUSSE.
    $$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$$
  2. Signe de $g''$ pour la convexité. $g(x)=x\mathrm e^{x}$, donc $g'(x)=(x+1)\mathrm e^{x}$ et $$g''(x)=(x+2)\mathrm e^{x}.$$ Pour tout réel $x$, $\mathrm e^{x}>0$. Sur $[-2\,;\,+\infty[$, on a $x+2\geqslant 0$, donc $g''(x)\geqslant 0$. Ainsi $g$ est convexe sur $[-2\,;\,+\infty[$.
    Affirmation 2 : VRAIE.
  3. Sur $]0\,;\,\pi[$, $x\sin x>0$ donc l'intégrale est positive. Sur $]0\,;\,\pi[$, $\sin x>0$ et $x>0$, donc $x\sin x>0$. Par positivité de l'intégrale, $$\int_{0}^{\pi}x\sin x\,\mathrm dx>0.$$ Or $-\pi<0$, donc l'égalité affirmée est fausse.
    Affirmation 3 : FAUSSE.
  4. Vérifier que $h'=2h-5$ et $h(0)=1$. $h(x)=-\dfrac{3}{2}\mathrm e^{2x}+\dfrac{5}{2}$, donc $h'(x)=-3\mathrm e^{2x}$.
    • $2h(x)-5=2\Bigl(-\dfrac{3}{2}\mathrm e^{2x}+\dfrac{5}{2}\Bigr)-5=-3\mathrm e^{2x}=h'(x)$ : $h$ est solution de $(E)$ ;
    • $h(0)=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}=1$.
    Affirmation 4 : VRAIE.
  5. Exécution de la boucle : calcul de $5!$. Avec $n=5$, la variable $f$ vaut successivement $1$, $2$, $6$, $24$, puis $120$. La fonction mystere calcule donc la factorielle : mystere(5) renvoie $120$.
    Affirmation 5 : VRAIE.

Polynésie 16 juin 2026 J1