Exercice 3

Partie A

1. Application de la relation de récurrence. $$u_1=\ln\bigl(3u_0^{2}+1\bigr)=\ln\bigl(3\times 2^{2}+1\bigr)=\ln 13.$$
   $$u_1=\ln 13$$
2. Lecture du nuage de points. Au vu de la représentation graphique, on conjecture que $(u_n)$ est croissante et convergente vers une limite inférieure ou égale à $4$.
   Conjecture : $(u_n)$ croissante et convergente (limite $\leqslant 4$).
3. Récurrence ; $x\mapsto x^{2}$ et $\ln$ croissantes sur les domaines utiles. Soit $\mathcal{P}_n$ : $2\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$.
   • Initialisation. $u_0=2$ et $u_1=\ln 13\approx 2{,}56$, donc $2\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 4$ : $\mathcal{P}_0$ est vraie.
   • Hérédité. On suppose $\mathcal{P}_n$ vraie. Comme le carré est croissant sur $\mathbb{R}_{+}$ : $$4\leqslant u_n^{2}\leqslant u_{n+1}^{2}\leqslant 16,$$ puis $$13\leqslant 3u_n^{2}+1\leqslant 3u_{n+1}^{2}+1\leqslant 49.$$ La croissance de $\ln$ donne $$\ln 13\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant \ln 49.$$ Or $\ln 13\geqslant 2$ et $\ln 49\approx 3{,}85\leqslant 4$, d'où $2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 4$ : $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie.
   • Conclusion. Par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $2\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$.
   Pour tout $n$ : $2\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$.
4. Théorème de la convergence monotone. D'après la question précédente, $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$, donc convergente. Si $\ell$ désigne sa limite, on a de plus $2\leqslant \ell\leqslant 4$.
   $(u_n)$ croissante et majorée : convergente, avec $2\leqslant \ell\leqslant 4$.

Partie B

1. Dérivée de $\ln(3x^{2}+1)-x$. Pour tout $x\geqslant 0$, $$g'(x)=\dfrac{6x}{3x^{2}+1}-1=\dfrac{6x-(3x^{2}+1)}{3x^{2}+1}=\dfrac{-3x^{2}+6x-1}{3x^{2}+1}.$$
   $$g'(x)=\dfrac{-3x^{2}+6x-1}{3x^{2}+1}$$
2. Signe de $-3x^{2}+6x-1$ ; racines $\approx 0{,}18$ et $\approx 1{,}82$. Comme $3x^{2}+1>0$, $g'$ est du signe de $-3x^{2}+6x-1$. Le discriminant vaut $\Delta=36-12=24$, avec racines $$x'=\dfrac{6-\sqrt{24}}{6}\approx 0{,}18\quad\text{et}\quad x''=\dfrac{6+\sqrt{24}}{6}\approx 1{,}82.$$ Sur $]x''\,;\,+\infty[$, $g'(x)<0$. Or $x''<2$, donc $[2\,;\,4]\subset ]x''\,;\,+\infty[$ et $g'<0$ sur $[2\,;\,4]$.
   $g$ strictement décroissante sur $[2\,;\,4]$.
3. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. On a $g(2)\approx 0{,}56>0$, $g(4)\approx -0{,}11<0$, et $g$ est continue et strictement décroissante sur $[2\,;\,4]$. Donc l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[2\,;\,4]$. À la calculatrice, $\alpha\approx 3{,}78$ à $10^{-2}$ près.
   Unique solution $\alpha\approx 3{,}78$.
4. Passage à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$ ; unicité de $\alpha$. Comme $u_{n+1}=f(u_n)$ et $f$ est continue, $\ell=f(\ell)$, c'est-à-dire $g(\ell)=0$. Or $2\leqslant \ell\leqslant 4$ et $\alpha$ est l'unique racine de $g$ sur $[2\,;\,4]$, donc $\ell=\alpha$.
   $$\ell=\alpha$$