Exercice 1

Partie A

1. Complémentarité et probabilités conditionnelles données. Au premier niveau : $P(M)=0{,}80$ et $P(\overline{M})=1-0{,}80=0{,}20$. Au second niveau :
   • $P_M(B)=0{,}75$, d'où $P_M(R)=1-0{,}75=0{,}25$ ;
   • $P_{\overline{M}}(B)=0{,}60$ ; les branches $R$ et $C$ seront complétées à la question suivante.
   Arbre complété avec $P(M)=0{,}80$, $P(\overline{M})=0{,}20$, $P_M(B)=0{,}75$, $P_M(R)=0{,}25$ et $P_{\overline{M}}(B)=0{,}60$.
2. 1. Interprétation d'une probabilité d'intersection. $P(\overline{M}\cap R)=0{,}05$ signifie que la probabilité que la planche choisie au hasard soit en résine et à recycler est égale à $0{,}05$.
      $5\,\%$ des planches sont en résine et seront recyclées.
   2. Définition des probabilités conditionnelles et partition $B$, $R$, $C$. On cherche $P_{\overline{M}}(C)$. Or $P(\overline{M}\cap R)=P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(R)$, donc $$P_{\overline{M}}(R)=\dfrac{P(\overline{M}\cap R)}{P(\overline{M})}=\dfrac{0{,}05}{0{,}20}=0{,}25.$$ Comme $P_{\overline{M}}(B)+P_{\overline{M}}(R)+P_{\overline{M}}(C)=1$ : $$0{,}60+0{,}25+P_{\overline{M}}(C)=1 \quad\Rightarrow\quad P_{\overline{M}}(C)=1-0{,}60-0{,}25=0{,}15.$$
      $$P_{\overline{M}}(C)=0{,}15$$
3. Formule des probabilités totales. $$P(B)=P(M\cap B)+P(\overline{M}\cap B)=0{,}80\times 0{,}75+0{,}20\times 0{,}60=0{,}60+0{,}12=0{,}72.$$ Or $0{,}72<\dfrac{3}{4}=0{,}75$, donc la proportion de planches en bon état est strictement inférieure à $\dfrac{3}{4}$.
   $$P(B)=0{,}72<\dfrac{3}{4}$$
   La gérante a tort.

Partie B

1. Équiprobabilité : tirage simultané de 2 boules parmi $n+5$. Le client gagne s'il tire deux boules noires ou deux boules rouges (événements disjoints).
   • Nombre de façons de tirer 2 boules parmi $n+5$ : $\dbinom{n+5}{2}$ ;
   • deux noires parmi 5 : $\dbinom{5}{2}$, d'où $p_1=\dfrac{\dbinom{5}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}$ ;
   • deux rouges parmi $n$ : $\dbinom{n}{2}$, d'où $p_2=\dfrac{\dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}$.
   Donc $$p=p_1+p_2=\dfrac{\dbinom{5}{2}+\dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}.$$
   $$p=\dfrac{\dbinom{5}{2}+\dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}$$
2. Expression des coefficients binomiaux. On a $\dbinom{5}{2}=10$, $\dbinom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ et $\dbinom{n+5}{2}=\dfrac{(n+5)(n+4)}{2}$. D'où $$p=\dfrac{10+\dfrac{n(n-1)}{2}}{\dfrac{(n+5)(n+4)}{2}}=\dfrac{20+n(n-1)}{(n+5)(n+4)}.$$
   $$p=\dfrac{20+n(n-1)}{(n+5)(n+4)}$$
3. Résolution de $p<\dfrac{1}{2}$ ; signe du trinôme $n^{2}-11n+20$. $$p<\dfrac{1}{2}\iff \dfrac{20+n(n-1)}{(n+5)(n+4)}<\dfrac{1}{2}\iff \dfrac{n^{2}-11n+20}{2(n+5)(n+4)}<0.$$ Comme $2(n+5)(n+4)>0$, on a $n^{2}-11n+20<0$. Le discriminant est $\Delta=121-80=41$, et les racines sont $$x'=\dfrac{11-\sqrt{41}}{2}\approx 2{,}3\quad\text{et}\quad x''=\dfrac{11+\sqrt{41}}{2}\approx 8{,}7.$$ Le trinôme est négatif sur $]x'\,;\,x''[$. Les entiers $n$ possibles sont donc $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ et $8$.
   $$n\in\{3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\}$$