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Exercice 4

Métropole • Jour 1 • 16 juin 2026
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$f(x)=a+\dfrac{b\ln(x+1)}{x+1}$ sur $]-1\,;\,+\infty[$.

Partie A

La courbe ci-dessous ; $T_{\mathrm A}$ tangente en A$(0\,;\,1)$.

Courbe de f et tangente en A
  1. Justifier $a=1$.
    1. Donner $f'(0)$ (graphique).
    2. Donner le signe de $f''(1)$ (graphique).
    1. Montrer $f'(x)=\dfrac{b(1-\ln(x+1))}{(x+1)^{2}}$.
    2. En déduire $b$.

Partie B

On admet $f(x)=1+\dfrac{4\ln(x+1)}{x+1}$.

  1. Justifier que $y=1$ est asymptote à la courbe.
  2. Résoudre $1-\ln(x+1)>0$ sur $]-1\,;\,+\infty[$.
  3. On admet $\lim\limits_{x\to -1}f(x)=-\infty$. Dresser le tableau de variation (extremum exact).
  4. Montrer que $f(x)=1{,}5$ admet une unique solution sur $[2\,;\,+\infty[$ ; valeur arrondie à $10^{-1}$.
    1. Montrer $\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\,\mathrm dx=\dfrac12(\ln 3)^{2}$.
    2. En déduire l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, $\mathcal{C}_f$, l'axe des ordonnées et $x=2$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Limites de fonctions
Calcul intégral
Dérivation et convexité
Fonctions logarithmes

Notions détaillées

TVI et corollaire (bijection) Asymptotes Lectures graphiques Convexité et dérivée seconde Fonction logarithme népérien Théorème fondamental de l’intégration Étude de fonctions

Solution écrite

Métropole 16 juin 2026 J1

Partie A

  1. Le point A$(0\,;\,1)$ appartient à la courbe. $$f(0)=1\iff a+\dfrac{b\ln 1}{1}=1\iff a=1.$$
    $$a=1$$
    1. $f'(0)$ est le coefficient directeur de $T_{\mathrm{A}}$, passant par A$(0\,;\,1)$ et B$(1\,;\,5)$. $$f'(0)=\dfrac{5-1}{1-0}=4.$$
      $$f'(0)=4$$
    2. Lecture graphique : $f$ concave au voisinage de $x=1$.
      $$f''(1)<0$$
    1. Quotient : dérivée de $\ln(x+1)$ égale à $\dfrac{1}{x+1}$. $$f'(x)=\dfrac{b\cdot\dfrac{1}{x+1}\cdot(x+1)-b\ln(x+1)}{(x+1)^2}=\dfrac{b\bigl(1-\ln(x+1)\bigr)}{(x+1)^{2}}.$$
      $$f'(x)=\dfrac{b\bigl(1-\ln(x+1)\bigr)}{(x+1)^{2}}$$
    2. Avec $f'(0)=4$. $$f'(0)=\dfrac{b(1-\ln 1)}{1}=b=4.$$
      $$b=4$$

Partie B

  1. Croissances comparées : $\dfrac{\ln y}{y}\to 0$ quand $y\to+\infty$. Avec $y=x+1$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$.
    La droite $y=1$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
  2. Croissance de la fonction exponentielle. $$1-\ln(x+1)>0\iff\ln(x+1)<1\iff x+1<\mathrm{e}\iff x<\mathrm{e}-1.$$ Sur $]-1\,;\,+\infty[$, les solutions sont $]-1\,;\,\mathrm{e}-1[$.
    $$-1<x<\mathrm{e}-1$$
  3. Signe de $f'$ donné par $1-\ln(x+1)$ ; maximum en $x=\mathrm{e}-1$. $$f(\mathrm{e}-1)=1+\dfrac{4\ln\mathrm{e}}{\mathrm{e}}=1+\dfrac{4}{\mathrm{e}}.$$ Tableau de variations : $f$ croît de $-\infty$ à $1+\dfrac{4}{\mathrm{e}}$ sur $]-1\,;\,\mathrm{e}-1]$, puis décroît vers 1.
    Maximum $1+\dfrac{4}{\mathrm{e}}$ en $x=\mathrm{e}-1$ ; $\displaystyle\lim_{x\to-1}f=-\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=1$.
  4. Théorème de la bijection sur $[2\,;\,+\infty[$. $\mathrm{e}-1<2$, donc $f$ est continue et strictement décroissante sur $[2\,;\,+\infty[$, avec $f(2)=1+\dfrac{4\ln 3}{3}\approx 2{,}46$ et limite 1. $1{,}5$ est une valeur intermédiaire : unique solution, arrondie à $25{,}1$.
    Unique solution $\approx 25{,}1$ sur $[2\,;\,+\infty[$.
    1. Primitive de $u\,u'$ avec $u=\ln(x+1)$. $$\int_{0}^{2}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{1}{2}\bigl(\ln(x+1)\bigr)^2\right]_{0}^{2}=\dfrac{1}{2}(\ln 3)^{2}.$$
      $$\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}(\ln 3)^{2}$$
    2. $f$ continue et positive sur $[0\,;\,2]$ ; linéarité de l'intégrale. $$\mathcal{A}=\int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{2}1\,\mathrm{d}x+4\int_{0}^{2}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\,\mathrm{d}x=2+2(\ln 3)^{2}.$$
      $$\mathcal{A}=2+2(\ln 3)^{2}$$

Métropole 16 juin 2026 J1