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Exercice 3

Métropole • Jour 1 • 16 juin 2026
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Chauffage : marche si $T\leqslant 18°\mathrm{C}$, s'éteint à $20°\mathrm{C}$.

Partie A : Phase de chauffage

$T$ solution de $y'=-0{,}035y+0{,}91$ avec $T(0)=18$ ($t$ en dizaines de minutes).

  1. Donner les solutions de $(E)$.
  2. En déduire $T(t)=26-8\mathrm e^{-0{,}035t}$.
  3. Temps pour atteindre $20°\mathrm{C}$ (en heures et minutes, arrondi à la minute).
  4. En cas de panne, la température peut-elle dépasser $28°\mathrm{C}$ ?

Partie B : Phase de refroidissement

$u_0=20$ et $u_{n+1}=0{,}965u_n+0{,}35+0{,}07\mathrm e^{-0{,}1n}$.

  1. Montrer $u_1=19{,}72$.
  2. Montrer par récurrence que $u_n>10$.
  3. On admet $(u_n)$ décroissante. En déduire qu'elle converge.
    1. Justifier que $\ell$ vérifie $x=0{,}965x+0{,}35$.
    2. Déterminer $\ell$ et interpréter.
    1. Compléter le programme Python marche (lignes 4 à 6).
    2. Déterminer le temps (en dizaines de minutes) de remise en marche.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites
Primitives et équations différentielles

Notions détaillées

Théorème du point fixe Fonction exponentielle Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Algorithme Python

Solution écrite

Métropole 16 juin 2026 J1

Partie A

  1. Équation $y'=ay+b$ avec $a=-0{,}035$ et $b=0{,}91$. La solution particulière constante est $t\mapsto\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-0{,}91}{-0{,}035}=26$. Les solutions générales sont donc de la forme $t\mapsto C\mathrm{e}^{-0{,}035t}+26$, avec $C\in\mathbb{R}$.
    $$y=26+C\mathrm{e}^{-0{,}035t}\quad (C\in\mathbb{R})$$
  2. Condition initiale $T(0)=18$. $$T(0)=18\iff C+26=18\iff C=-8.$$
    $$T(t)=26-8\mathrm{e}^{-0{,}035t}$$
  3. Résolution de $T(t)=20$ ; $t$ en dizaines de minutes. $$26-8\mathrm{e}^{-0{,}035t}=20\iff\mathrm{e}^{-0{,}035t}=0{,}75\iff t=\dfrac{\ln(0{,}75)}{-0{,}035}\approx 8{,}22.$$ Soit environ 82 minutes, c'est-à-dire 1 heure et 22 minutes.
    Environ $1\,\mathrm{h}\,22\,\mathrm{min}$.
  4. Asymptote horizontale $y=26$ ; $T$ croissante et majorée par 26. Comme $a<0$, $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}T(t)=26$. De plus $\mathrm{e}^{-0{,}035t}>0$ implique $T(t)<26$ pour tout $t\geqslant 0$. La température ne peut donc pas atteindre $28°\mathrm{C}$.
    Non, la température ne dépassera pas $28°\mathrm{C}$ (elle reste strictement inférieure à $26°\mathrm{C}$).

Partie B

  1. Relation de récurrence avec $n=0$. $$u_1=0{,}965\times 20+0{,}35+0{,}07\mathrm{e}^{0}=19{,}3+0{,}35+0{,}07=19{,}72.$$
    $$u_1=19{,}72$$
  2. Récurrence : $P_n$ : « $u_n>10$ ».
    • Initialisation : $u_0=20>10$.
    • Hérédité : si $u_n>10$, alors $0{,}965u_n+0{,}35>9{,}65+0{,}35=10$, et comme $0{,}07\mathrm{e}^{-0{,}1n}>0$, on a $u_{n+1}>10$.
    • Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n>10$.
    Pour tout $n$ : $u_n>10$.
  3. Théorème de convergence monotone. $(u_n)$ est décroissante (admis) et minorée par 10, donc convergente vers une limite $\ell\geqslant 10$.
    Décroissante et minorée : convergente.
    1. Passage à la limite ; $\mathrm{e}^{-0{,}1n}\to 0$. $\displaystyle\lim u_n=\ell=\lim u_{n+1}$ et $$\lim\bigl(0{,}965u_n+0{,}35+0{,}07\mathrm{e}^{-0{,}1n}\bigr)=0{,}965\ell+0{,}35.$$ Par unicité de la limite : $\ell=0{,}965\ell+0{,}35$.
      $\ell$ est solution de $x=0{,}965x+0{,}35$.
    2. Résolution de l'équation du point fixe. $$x-0{,}965x=0{,}35\iff 0{,}035x=0{,}35\iff x=10.$$
      $$\ell=10$$
      À long terme, la température se stabilise autour de $10°\mathrm{C}$.
    1. Boucle tant que $u>18$, en actualisant $u$ puis $n$. 
      while u > 18:
    u = 0.965*u + 0.35 + 0.07*exp(-0.1*n)
    n = n + 1
    2. Exploration des premiers termes : $u_8\approx 17{,}87$ et $u_7>18$.
      $$n=8$$
      Huit dizaines de minutes avant remise en marche.

Métropole 16 juin 2026 J1