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Exercice 1

Métropole • Jour 2 • 17 juin 2026
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Dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k}\right)$, points :

$$\mathrm A(2\,;\,1\,;\,1),\quad \mathrm B(3\,;\,-2\,;\,0),\quad \mathrm C(0\,;\,-1\,;\,1),\quad \mathrm D(0\,;\,0\,;\,2).$$
Tétraèdre ABCD
  1. Montrer que A, B et C définissent un plan.
    1. Montrer que $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
    2. En déduire l'équation $x-y+4z-5=0$.
  3. Vérifier la représentation paramétrique de $\Delta$ (passant par D, orthogonale à $(ABC)$) : $$\begin{cases}x=t\\ y=-t\\ z=2+4t\end{cases}.$$
  4. Montrer que le projeté orthogonal de D sur $(ABC)$ est $\mathrm H\left(-\dfrac16\,;\,\dfrac16\,;\,\dfrac43\right)$.
    1. Montrer que le triangle ABC est isocèle en B.
    2. Montrer que son aire vaut $3\sqrt{2}$.
    1. En déduire que le volume du tétraèdre ABCD vaut $1$.
    2. On admet $d(A,(BCD))=\sqrt{2}$. En déduire l'aire du triangle BCD.
  7. Soit $\mathrm D_k(0\,;\,0\,;\,k)$.
    1. Valeur de $k$ pour laquelle A, B, C, $\mathrm D_k$ sont coplanaires ? Quel est alors le projeté de $\mathrm D_k$ sur $(ABC)$ ?
    2. Peut-on trouver $k$ tel que A soit le projeté orthogonal de $\mathrm D_k$ sur $(ABC)$ ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 2
Géométrie dans l'espace: partie 1

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Métropole 17 juin 2026 J2

  1. Vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ non colinéaires. $$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-1\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}.$$ Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B et C définissent un plan.
    A, B et C définissent un plan.
    1. Produit scalaire dans un repère orthonormé. $$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=1+3-4=0,\qquad \vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=-2+2+0=0.$$ $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc normal à $(ABC)$.
      $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$.
    2. Équation $x-y+4z+d=0$ ; passage par A. $$2-1+4\times 1+d=0\iff d=-5.$$
      $$x-y+4z-5=0$$
  3. $\Delta$ orthogonale à $(ABC)$ : dirigée par $\vec{n}$, passant par D. $$\begin{cases}x=0+t\\ y=0-t\\ z=2+4t\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R}).$$
    Représentation paramétrique de $\Delta$ vérifiée.
  4. Intersection de $\Delta$ et du plan $(ABC)$. $$t_0-(-t_0)+4(2+4t_0)-5=0\iff 18t_0=-3\iff t_0=-\dfrac{1}{6}.$$ D'où $\mathrm{H}\left(-\dfrac{1}{6}\,;\,\dfrac{1}{6}\,;\,\dfrac{4}{3}\right)$.
    $$\mathrm{H}\left(-\dfrac{1}{6}\,;\,\dfrac{1}{6}\,;\,\dfrac{4}{3}\right)$$
    1. Calcul des longueurs AB et CB. $$\mathrm{AB}=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11},\qquad \mathrm{CB}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}.$$
      Triangle ABC isocèle en B.
    2. Base $[AC]$, hauteur $[BI]$ avec I milieu de $[AC]$. $\mathrm{I}(1\,;\,0\,;\,1)$, $\mathrm{AC}=2\sqrt{2}$, $\mathrm{BI}=3$. $$\mathcal{A}_{\mathrm{ABC}}=\dfrac{\mathrm{AC}\times\mathrm{BI}}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}\times 3}{2}=3\sqrt{2}.$$
      Aire $=3\sqrt{2}$
    1. Volume $=\dfrac{1}{3}\times$ aire de la base $\times$ hauteur DH. $$\mathrm{DH}=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(\dfrac{4}{3}-2\right)^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$ $$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times 3\sqrt{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1.$$
      $$V=1$$
    2. Même volume avec base BCD et hauteur $h=\sqrt{2}$. $$1=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}_{\mathrm{BCD}}\times\sqrt{2}\iff\mathcal{A}_{\mathrm{BCD}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$$
      Aire$(BCD)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
    1. Appartenance de $\mathrm{D}_k(0\,;\,0\,;\,k)$ au plan $(ABC)$. $$4k-5=0\iff k=\dfrac{5}{4}.$$ Le projeté orthogonal de $\mathrm{D}_{5/4}$ sur $(ABC)$ est alors $\mathrm{D}_{5/4}$ lui-même.
      $$k=\dfrac{5}{4}$$ ; projeté $=\mathrm{D}_{5/4}$.
    2. A projeté de $\mathrm{D}_k$ ssi $\overrightarrow{\mathrm{AD}_k}$ colinéaire à $\vec{n}$. $$\overrightarrow{\mathrm{AD}_k}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\k-1\end{pmatrix}$$ n'est jamais colinéaire à $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$ (abscisses et ordonnées incompatibles).
      Non, aucune valeur de $k$.

Métropole 17 juin 2026 J2