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Exercice 4

Centres étrangers • Jour 2 • 11 juin 2026
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Partie A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé trois courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$.

Les courbes correspondent aux représentations graphiques de trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ : une fonction $f$, sa dérivée $f'$ et sa dérivée seconde $f''$.

Courbes C1, C2, C3

Associer chacune des fonctions $f$, $f'$ et $f''$ à sa courbe représentative. Aucune justification n'est attendue.

Partie B

On considère l'équation différentielle $(E)$ définie par $y'+y=(2 x-3) \mathrm e^{-x}$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.

  1. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x)=\left(x^{2}-3 x\right) \mathrm e^{-x}$$ Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
  2. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\quad y'+y=0$.
  3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
  4. Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $\quad f(0)=2$.

Partie C

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=\mathrm e^{-x}\left(x^{2}-3 x+2\right)$$ et on note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

  1. Étudier le signe de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
    1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
  3. On note I l'intégrale définie par : $$I=\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$$
    1. À l'aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que $\quad I=1-\dfrac{1}{\mathrm e}$.
    2. Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie D

On considère un réel $a$.

On note $\left(T_{a}\right)$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $a$.

  1. Démontrer que le point d'intersection de la tangente $(T_{a})$ et de l'axe des ordonnées a pour ordonnée $$\left(a^{3}-4 a^{2}+2 a+2\right) \mathrm e^{-a}$$
  2. Déterminer le nombre de tangentes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passant par l'origine du repère.

    Le candidat explicitera les étapes de la démarche utilisée.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles
Dérivation et convexité
Calcul intégral
Limites de fonctions

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Lectures graphiques Fonction exponentielle Intégration par parties Étude de fonctions

Solution écrite

Centres étrangers 11 juin 2026 J2

Partie A

Aucune justification n'est demandée.
$f \leftrightarrow \mathcal{C}_1$, $\quad f' \leftrightarrow \mathcal{C}_3$, $\quad f'' \leftrightarrow \mathcal{C}_2$.

Partie B

  1. Produit $uv$ avec $u=x^2-3x$, $v=\mathrm e^{-x}$. $$g'(x)=(-x^2+5x-3)\mathrm e^{-x}$$ $$g'(x)+g(x)=(2x-3)\mathrm e^{-x}$$
    $g$ est une solution particulière de $(E)$.
  2. Équation $y'=-y$ : solutions $x\mapsto C\mathrm e^{-x}$.
    $$y(x)=C\mathrm e^{-x}\quad(C\in\mathbb{R})$$
  3. Solution générale $=$ particulière $+$ solutions de l'équation homogène.
    $$y(x)=\big(C+x^{2}-3x\big)\mathrm e^{-x}\quad(C\in\mathbb{R})$$
  4. Condition $f(0)=2$ : $C=2$.
    $$f(x)=(x^{2}-3x+2)\mathrm e^{-x}$$

Partie C

  1. $\mathrm e^{-x}>0$ ; $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.
    $f>0$ sur $]-\infty\,;\,1[\cup]2\,;\,+\infty[$, $f<0$ sur $]1\,;\,2[$, $f(1)=f(2)=0$.
    1. $\mathrm e^{-x}\to+\infty$ et $x^2-3x+2\to+\infty$.
      $$\lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty$$
    2. $f(x)=\dfrac{x^2}{\mathrm e^{x}}\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)$ ; croissances comparées.
      $$\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$$
    1. Deux intégrations par parties successives. $$I=2+\int_0^1(2x-3)\mathrm e^{-x}\,\mathrm{d}x=2+\left(-1-\dfrac{1}{\mathrm e}\right)=1-\dfrac{1}{\mathrm e}$$
      $$I=1-\dfrac{1}{\mathrm e}$$
    2. Sur $[0\,;\,1]$, $f\geqslant 0$.
      $I$ est l'aire sous $\mathcal{C}_f$ entre $x=0$ et $x=1$.

Partie D

  1. Ordonnée à l'origine : $f(a)-a f'(a)$ ; $f'=(-x^2+5x-5)\mathrm e^{-x}$. $$f(a)-a f'(a)=\big(a^3-4a^2+2a+2\big)\mathrm e^{-a}$$
    Ordonnée à l'origine : $\left(a^{3}-4a^{2}+2a+2\right)\mathrm e^{-a}$.
  2. Passage par l'origine ssi $h(a)=0$ avec $h(x)=x^3-4x^2+2x+2$ ($\mathrm e^{-a}>0$). $$h'(x)=3x^2-8x+2,\quad \Delta=40,\quad x_{1,2}=\dfrac{4\pm\sqrt{10}}{3}$$ $h(x_1)>0$, $h(x_2)<0$, et $h\to\pm\infty$ aux bornes : exactement trois racines réelles.
    Il existe exactement $3$ tangentes à $\mathcal{C}_f$ passant par l'origine.

Centres étrangers 11 juin 2026 J2