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Exercice 1

Antilles Guyane • Jour 1 • 16 juillet 2026
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Partie A

L'agence de sûreté nucléaire ASNR contrôle les installations des centrales nucléaires afin de garantir leur sécurité et leur conformité. La fréquence des contrôles dépend de l'état du réacteur.

On considère que dans le parc nucléaire français :

  • $20\,\%$ des réacteurs sont en arrêt pour maintenance ;
  • $5\,\%$ des réacteurs fonctionnent au ralenti ;
  • le reste des réacteurs du parc nucléaire est en état de fonctionnement normal.

On considère également que parmi les réacteurs en arrêt, $85\,\%$ sont contrôlés et que parmi les réacteurs fonctionnant au ralenti, $60\,\%$ sont contrôlés.

On choisit au hasard un réacteur dans le parc nucléaire français, et on note :

  • $A$ l'évènement « Le réacteur est en arrêt » ;
  • $R$ l'évènement « Le réacteur fonctionne au ralenti » ;
  • $N$ l'évènement « Le réacteur fonctionne normalement » ;
  • $C$ l'évènement « Le réacteur subit un contrôle ».

On note $x$ la probabilité que le réacteur subisse un contrôle sachant qu'il fonctionne normalement, c'est-à-dire $x = P_N(C)$.

  1. Recopier l'arbre des probabilités ci-contre en complétant les pointillés à l'aide des données de l'énoncé.
    Arbre de probabilités
  2. Calculer la probabilité que le réacteur soit en arrêt et qu'il subisse un contrôle.
  3. On sait de plus que la probabilité qu'un réacteur du parc nucléaire soit contrôlé est égale à $0{,}35$. Montrer que la probabilité $x$ est égale à $0{,}2$.
  4. Le réacteur choisi subit un contrôle. Déterminer la probabilité qu'il fonctionne normalement.

Partie B

Dans le Sud de la France, on compte $12$ réacteurs nucléaires. On rappelle que $P(N) = 0{,}75$, $P(R) = 0{,}05$ et $P(A) = 0{,}20$.

Production journalière : $16$~GWh (normal), $10$~GWh (ralenti), $0$~GWh (arrêt).

  1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh d'un réacteur.
    1. Recopier et compléter le tableau donnant la loi de probabilité de $X$.
    2. Montrer que $E(X)=12{,}5$ et $V(X)=40{,}75$.
  2. Pour $i$ de $1$ à $12$, on note $X_i$ la production journalière du $i$-ème réacteur. On suppose que les $X_i$ suivent la même loi que $X$ et sont indépendantes. On pose $S = X_1 + \cdots + X_{12}$.
    1. Montrer que $E(S) = 150$ et $V(S) = 489$.
    2. Peut-on affirmer que $P(100 < S < 200)$ est supérieure à $0{,}80$ ? Justifier.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles
Somme de variables aléatoires
Loi des grands nombres

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Antilles Guyane 16 juillet 2026 J1

Partie A

  1. Complémentarité : $P(N)=1-P(A)-P(R)$ ; probabilités conditionnelles sur chaque branche.
    • $P(A)=0{,}20$, $P(R)=0{,}05$, $P(N)=0{,}75$ ;
    • $P_A(C)=0{,}85$, $P_A(\overline{C})=0{,}15$ ;
    • $P_R(C)=0{,}60$, $P_R(\overline{C})=0{,}40$ ;
    • $P_N(C)=x$, $P_N(\overline{C})=1-x$.
    Arbre complété avec les probabilités ci-dessus.
  2. Définition des probabilités conditionnelles : $P(A\cap C)=P(A)\times P_A(C)$. $$P(A\cap C)=0{,}2\times 0{,}85=0{,}17$$
    $$P(A\cap C)=0{,}17$$
    La probabilité que le réacteur soit à l'arrêt et qu'il subisse un contrôle est égale à $0{,}17$.
  3. $A$, $R$ et $N$ partitionnent l'univers ; formule des probabilités totales avec $P(C)=0{,}35$. $$P(C)=P(A)\times P_A(C)+P(R)\times P_R(C)+P(N)\times P_N(C)$$ $$0{,}35=0{,}2\times 0{,}85+0{,}05\times 0{,}6+0{,}75\times x$$ $$0{,}35-0{,}17-0{,}03=0{,}75x \iff 0{,}15=0{,}75x \iff x=\dfrac{0{,}15}{0{,}75}=0{,}2$$
    $$x=0{,}2$$
  4. Formule de Bayes : $P_C(N)=\dfrac{P(N\cap C)}{P(C)}$. $$P_C(N)=\dfrac{0{,}75\times 0{,}2}{0{,}35}=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}429$$
    $$P_C(N)=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}429$$
    Arrondi au millième. Probabilité qu'un réacteur contrôlé fonctionne normalement.

Partie B

    1. $\{X=0\}=A$, $\{X=10\}=R$, $\{X=16\}=N$.
      $k$01016
      $p_k$0{,}200{,}050{,}75
    2. $E(X)=\sum k\,p_k$ et $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$. $$E(X)=0\times 0{,}2+10\times 0{,}05+16\times 0{,}75=12{,}5$$ $$V(X)=0^2\times 0{,}2+10^2\times 0{,}05+16^2\times 0{,}75-12{,}5^2=40{,}75$$
      $$E(X)=12{,}5 \qquad V(X)=40{,}75$$
    1. Linéarité de l'espérance ; indépendance pour la variance. $$E(S)=12\times E(X)=12\times 12{,}5=150$$ $$V(S)=12\times V(X)=12\times 40{,}75=489$$
      $$E(S)=150 \qquad V(S)=489$$
    2. Bienaymé-Tchebychev avec $t=50$ : $P(|S-150|\geqslant 50)\leqslant \dfrac{V(S)}{t^2}$. $$P(100<S<200)=P(|S-150|<50)=1-P\big(|S-150|\geqslant 50\big)$$ $$P\big(|S-150|\geqslant 50\big)\leqslant \dfrac{489}{50^2}=0{,}1956$$ donc $$P(100<S<200)\geqslant 1-0{,}1956=0{,}8044>0{,}80.$$
      Oui : $$P(100<S<200)\geqslant 0{,}8044>0{,}80.$$

Antilles Guyane 16 juillet 2026 J1