Exercice 3

Partie A

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[2\,;\,+\infty\right[$ par $$f(x)=\ln\left(3 x^{2}+2 x\right).$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left[2\,;\,+\infty\right[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$.
2. On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$ par : $$g(x)=f(x)-x$$ On admet que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$ et que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$.
   1. Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$.
   2. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
   3. En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$.

Partie B

On définit une suite $(a_{n})$ par son premier terme $a_{0}>0$ et pour tout entier naturel $n$, $$a_{n+1}=\ln\left(3 {a_{n}}^{2}+2 a_{n}\right)$$

On étudie le cas où $\quad 2 \leqslant a_{0} \leqslant \alpha$, $\quad$ où $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x)=0$.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $2 \leqslant a_{n} \leqslant \alpha$.
2. Démontrer que la suite $(a_{n})$ est croissante.
3. Démontrer que la suite $(a_{n})$ converge.
4. Démontrer que la limite de la suite $(a_{n})$ est $\alpha$.

Partie C

Dans cette partie, on prend $a_{0}=2$.

La suite $(a_{n})$ est ainsi définie par $a_{0}=2$ et pour tout entier naturel $n$, $$a_{n+1}=\ln\left(3 {a_{n}}^{2}+2 a_{n}\right)$$

On note $(b_{n})$ la suite définie par $b_{0}=10$ et pour tout entier naturel $n$, $$b_{n+1}=\ln\left(3 {b_{n}}^{2}+2 b_{n}\right)$$

On admet que la suite $\left(b_{n}\right)$ est strictement décroissante et qu'elle converge vers $\alpha$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $\quad a_{n} \leqslant b_{n}$.
2. On considère le script ci-dessous écrit en langage Python.

   from math import *
   def algo(p):
       a = 2
       b = 10
       n = 0
       while b - a > 10**(-p):
           a = log(3*a**2 + 2*a)
           b = log(3*b**2 + 2*b)
           n = n + 1
       return (n,a)

   1. Donner les valeurs renvoyées par l'instruction algo(2).
      On arrondira si besoin les valeurs au millième.
   2. Interpréter les valeurs renvoyées dans le contexte de l'exercice.