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Exercice 2

Centres étrangers • Jour 2 • 11 juin 2026
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Parmi les habitants âgés d'au moins 15 ans vivant en France, on compte :

  • $21\,\%$ de personnes de 15 à 29 ans ;
  • $46\,\%$ de personnes de 30 à 59 ans ;
  • $33\,\%$ de personnes d'au moins 60 ans.

On s'intéresse à l'utilisation d'un réseau social par les habitants âgés d'au moins 15 ans vivant en France. On a ainsi pu observer que :

  • $70\,\%$ des personnes de 15 à 29 ans ont déjà publié sur ce réseau social ;
  • $46\,\%$ des personnes de 30 à 59 ans ont déjà publié sur ce réseau social ;
  • $15\,\%$ des personnes d'au moins 60 ans ont déjà publié sur ce réseau social.

On interroge une personne âgée d'au moins 15 ans vivant en France et on lui demande si elle a déjà publié sur ce réseau social.

On note :

  • $J$ l'événement : « la personne interrogée a entre 15 et 29 ans » ;
  • $M$ l'événement : « la personne interrogée a entre 30 et 59 ans » ;
  • $S$ l'événement : « la personne interrogée a au moins 60 ans » ;
  • $R$ l'événement : « la personne interrogée a déjà publié sur ce réseau social ».

On note $\overline{R}$ l'événement contraire de l'événement $R$.

Dans tout l'exercice, les valeurs approchées seront arrondies au millième.

Partie A

  1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité.
    Arbre de probabilités
  2. Déterminer $P(M \cap R)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  3. On interroge au hasard une personne âgée d'au moins 15 ans vivant en France.
    1. Calculer la probabilité qu'elle ait déjà publié sur ce réseau social.
    2. On sait que cette personne a déjà publié sur ce réseau social. Déterminer la probabilité qu'elle ait au moins 60 ans.

Partie B

Au cours d'un sondage, on interroge successivement, au hasard et de manière indépendante, $100$ personnes âgées d'au moins 15 ans vivant en France.

La population du pays est suffisamment grande pour qu'on assimile le choix des personnes sondées à des tirages successifs avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi ces $100$ personnes interrogées.

Dans cette partie, on admet que la probabilité qu'une personne âgée d'au moins 15 ans vivant en France ait déjà publié sur ce réseau social est $0{,}41$.

  1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
  2. Calculer la probabilité qu'au moins la moitié des $100$ personnes interrogées ait déjà publié sur ce réseau social.
  3. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

On effectue le sondage décrit dans la partie B dans $150$ villes françaises en respectant les mêmes conditions.

On note $X_{1}$, $X_{2}$, \ldots, $X_{150}$ les variables aléatoires donnant le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi les $100$ personnes interrogées dans chacune des $150$ villes.

On considère $Y$ la variable aléatoire définie par : $$Y=\dfrac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{150}}{150}$$

Démontrer que la probabilité que la variable aléatoire $Y$ soit strictement comprise entre $37$ et $45$ est strictement supérieure à $98\,\%$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Loi des grands nombres
Somme de variables aléatoires
Probabilités Conditionnelles
Loi binomiale

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Centres étrangers 11 juin 2026 J2

Partie A

  1. Lecture des données et complémentarité.
    • $P(J)=0{,}21$, $P(M)=0{,}46$, $P(S)=0{,}33$ ;
    • $P_J(R)=0{,}7$, $P_J(\overline{R})=0{,}3$ ;
    • $P_M(R)=0{,}46$, $P_M(\overline{R})=0{,}54$ ;
    • $P_S(R)=0{,}15$, $P_S(\overline{R})=0{,}85$.
  2. Règle de multiplication. $$P(M \cap R)=P(M)\times P_M(R)=0{,}46 \times 0{,}46$$
    $$P(M \cap R)=0{,}2116$$
    La probabilité que la personne ait entre 30 et 59 ans et ait déjà publié est égale à $0{,}2116$.
    1. $J$, $M$, $S$ partition ; probabilités totales. $$P(R)=0{,}21 \times 0{,}7 + 0{,}46 \times 0{,}46 + 0{,}33 \times 0{,}15$$
      $$P(R)=0{,}4081$$
    2. Formule de Bayes. $$P_R(S)=\dfrac{P(S \cap R)}{P(R)}=\dfrac{0{,}33 \times 0{,}15}{0{,}4081}$$
      $$P_R(S)\approx 0{,}121$$

Partie B

  1. On admet la loi binomiale ; succès = déjà publié.
    $$X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}41)$$
  2. À la calculatrice.
    $$P(X\geqslant 50)\approx 0{,}043$$
  3. $E(X)=np$. $$E(X)=100 \times 0{,}41=41$$
    $$E(X)=41$$
    En moyenne, $41$ personnes sur $100$ ont déjà publié sur ce réseau social.

Partie C

  1. $Y$ moyenne d'échantillon de taille $150$ de $X\sim\mathcal{B}(100\,;\,0{,}41)$. $$E(Y)=E(X)=41 \qquad V(Y)=\dfrac{V(X)}{150}=\dfrac{100 \times 0{,}41 \times 0{,}59}{150}=\dfrac{24{,}19}{150}$$ $$P(37<Y<45)=1-P(|Y-41|\geqslant 4)$$ Par Bienaymé-Tchebychev : $$P(|Y-41|\geqslant 4)\leqslant \dfrac{24{,}19}{150 \times 16}=\dfrac{803}{80000}$$ $$P(37<Y<45)\geqslant 1-\dfrac{803}{80000}\approx 0{,}98996>0{,}98$$
    $$P(37<Y<45)>0{,}98$$

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