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Exercice 4

Asie • Jour 2 • 10 juin 2026
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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix.

Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation.

Les quatre questions sont indépendantes.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=\left(-\dfrac{1}{2} x+3\right)^{5}$$

    Affirmation 1 : La fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

  2. Une urne contient $32$ jetons numérotés de $1$ à $32$ indiscernables au toucher.

    On tire simultanément $5$ jetons de cette urne.

    On appelle tirage la liste non ordonnée des numéros des cinq jetons tirés.

    Affirmation 2 : Le nombre de tirages possibles contenant au moins un multiple de $8$ est égal à $103\,096$.

  3. On considère l'arbre de probabilités ci-dessous.
    Arbre de probabilités

    Affirmation 3 : $\quad P_{B}\big(\,\overline{A}\,\big)=\dfrac{9}{50}$.

  4. On considère l'équation différentielle $$(E): \quad y'+y=\mathrm e^{-x} \cos (x),$$ où $y$ est une fonction de la variable $x$, dérivable sur $\mathbb{R}$.

    Affirmation 4 : La fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\mathrm e^{-x} \sin (x)$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.

    Affirmation 5 : Les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $$k(x)=C \mathrm e^{-x} \sin (x) \quad\text{ où } C \text{ est une constante réelle. }$$

Concepts abordés

Chapitres principaux

Dérivation et convexité
Probabilités Conditionnelles
Primitives et équations différentielles

Notions détaillées

Convexité et dérivée seconde Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Asie 10 juin 2026 J2

  1. $f(x)=\left(-\dfrac{1}{2}x+3\right)^5$. Dérivées successives. $$f'(x)=-\dfrac{5}{2}\left(-\dfrac{1}{2}x+3\right)^4,\qquad f''(x)=5\left(-\dfrac{1}{2}x+3\right)^3$$ Pour $x=10$ : $f''(10)=5(-5+3)^3=-40<0$. La dérivée seconde n'est pas positive sur $\mathbb{R}$.
    Affirmation 1 : FAUSSE.
  2. $4$ multiples de $8$ parmi $32$ jetons. Complémentaire : tirages sans multiple de $8$. $$\dbinom{32}{5}-\dbinom{28}{5}=201\,376-98\,280=103\,096$$
    Affirmation 2 : VRAIE.
  3. Formule des probabilités totales puis définition de la probabilité conditionnelle. $$P(B)=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{10}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{9}{50}=\dfrac{14}{50}$$ $$P_B(\overline{A})=\dfrac{P(\overline{A}\cap B)}{P(B)}=\dfrac{9/50}{14/50}=\dfrac{9}{14}\neq\dfrac{9}{50}$$
    Affirmation 3 : FAUSSE.
  4. Affirmation 4 : vérifier que $h(x)=\mathrm e^{-x}\sin(x)$ est solution particulière de $y'+y=\mathrm e^{-x}\cos(x)$. $$h'(x)=-\mathrm e^{-x}\sin(x)+\mathrm e^{-x}\cos(x) \implies h'+h=\mathrm e^{-x}\cos(x)$$
    Affirmation 4 : VRAIE.
    Affirmation 5 : solutions = particulière + solutions de l'équation homogène $y'+y=0$. Les solutions homogènes sont $C\mathrm e^{-x}$. L'ensemble des solutions est $$y(x)=C\mathrm e^{-x}+\mathrm e^{-x}\sin(x)$$ ce qui diffère de l'expression proposée.
    Affirmation 5 : FAUSSE.

Asie 10 juin 2026 J2