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Exercice 3

Asie • Jour 2 • 10 juin 2026
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Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k}\right)$, on considère les points

$$\mathrm{A}(1\,;\,2\,;\,3),\quad \mathrm{B}(-1\,;\,3\,;\,1),\quad \mathrm{C}(2\,;\,1\,;\,6)\quad \text{et}\quad \mathrm{D}(3\,;\,-2\,;\,-1).$$
    1. Montrer que les points A, B et C définissent un plan.
    2. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
    3. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    1. Déterminer une équation paramétrique de la droite $(d)$, perpendiculaire au plan $(ABC)$ et passant par le point D.
    2. Déterminer les coordonnées du point H qui est le projeté orthogonal du point D sur le plan $(ABC)$.
    3. En déduire que la distance du point D au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt{2}$.
    1. Montrer que $$\cos\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right)=-\dfrac{3\sqrt{11}}{11}$$
    2. En déduire la valeur exacte de $\sin\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right)$.
    3. Montrer que l'aire du triangle ABC vaut $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
  4. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

    On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par : $$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h\,,\quad \text{où }\mathcal{B}\text{ est l'aire d'une base et }h\text{ la hauteur qui lui est associée.}$$

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Asie 10 juin 2026 J2

    1. Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$$ Les coordonnées ne sont pas proportionnelles : vecteurs non colinéaires.
      A, B et C ne sont pas alignés ; ils définissent un plan.
    2. Produits scalaires avec $\vec n\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}$. $$\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=-2+4-2=0,\qquad \vec n\cdot\overrightarrow{AC}=1-4+3=0$$ $\vec n$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
      $\vec n$ est normal au plan $(ABC)$.
    3. Équation $x+4y+z+d=0$ ; passage par A$(1\,;\,2\,;\,3)$. $$1+8+3+d=0 \iff d=-12$$
      $$x+4y+z-12=0$$
    1. $(d)$ passe par D$(3\,;\,-2\,;\,-1)$ et est dirigée par $\vec n$.
      $$\begin{cases}x=3+t\\ y=-2+4t\\ z=-1+t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$$
    2. H $\in(d)$ et H $\in(ABC)$ : $(3+t)+4(-2+4t)+(-1+t)-12=0$. $$18t-18=0 \iff t=1$$
      $$\mathrm H(4\,;\,2\,;\,0)$$
    3. Distance DH. $$\mathrm{DH}=\sqrt{(4-3)^2+(2-(-2))^2+(0-(-1))^2}=\sqrt{1+16+1}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$
      Distance de D au plan $=3\sqrt{2}$.
    1. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\mathrm{AB}\times\mathrm{AC}\times\cos(\widehat{\mathrm{BAC}})$. $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-9,\quad \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{AC}=\sqrt{11}$$ $$\cos(\widehat{\mathrm{BAC}})=\dfrac{-9}{3\sqrt{11}}=\dfrac{-3\sqrt{11}}{11}$$
      $$\cos(\widehat{\mathrm{BAC}})=-\dfrac{3\sqrt{11}}{11}$$
    2. $\cos^2+\sin^2=1$ ; l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$ est dans $[0\,;\,\pi]$, donc $\sin\geqslant 0$. $$\sin^2(\widehat{\mathrm{BAC}})=1-\dfrac{9}{11}=\dfrac{2}{11} \implies \sin(\widehat{\mathrm{BAC}})=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=\dfrac{\sqrt{22}}{11}$$
      $$\sin(\widehat{\mathrm{BAC}})=\dfrac{\sqrt{22}}{11}$$
    3. Aire $=\dfrac{1}{2}\times\mathrm{AB}\times\mathrm{AC}\times\sin(\widehat{\mathrm{BAC}})$. $$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times 3\times\sqrt{11}\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$$
      Aire du triangle ABC $=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
  4. $\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h$ avec base ABC et hauteur DH. $$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{18}{2}=3$$
    $$\mathcal{V}=3$$

Asie 10 juin 2026 J2