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Exercice 4

Antilles Guyane • Jour 2 • 17 juin 2026
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On considère $f_k$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $$f_k(x)=1-x+\dfrac{k(1+\ln x)}{x}$$ où $k>0$. On note $\mathcal{C}_k$ sa courbe.

Partie A : cas $k=2$

La courbe $\mathcal{C}_2$ est représentée ci-dessous. A est un point d'inflexion ; $T_2$ est la tangente en A.

Courbe C2
  1. Soit $F_2$ une primitive de $f_2$. Donner les variations de $F_2$ sur $]0\,;\,3]$ (lecture graphique).
  2. Parmi les trois courbes ci-dessous, indiquer celle qui représente $f_2'$ et celle qui représente $f_2''$. Justifier.
    Trois courbes

Partie B : cas $k=1$

$$f_1(x)=1-x+\dfrac{1+\ln x}{x}$$

    1. Montrer que $f_1'(x)=-1-\dfrac{\ln x}{x^{2}}$.
    2. Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f_1'(x)$.
  2. On admet $f_1''(x)=\dfrac{2\ln x-1}{x^{3}}$ et le tableau de variations de $f_1'$ (min en $\mathrm e^{1/2}$).
    1. Justifier les variations de $f_1'$ et la valeur de l'extremum.
    2. Justifier $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f_1'(x)$.
    3. Montrer qu'il existe une unique solution $\alpha$ à $f_1'(x)=0$. En déduire que $f_1$ admet un maximum.
    4. Compléter le programme Python pour approcher $\alpha$ à $10^{-2}$ près : 
      def d(x):
    return -1-ln(x)/x**2

def alpha():
    u = 0.5
    while d(u) ... 0:
        u = ...
    return u

Partie C : $k$ quelconque

$h(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}$ et $H(x)=\dfrac{1}{2}(1+\ln x)^{2}$.

  1. Montrer que $H$ est une primitive de $h$.
  2. Existe-t-il $k>0$ tel que la valeur moyenne de $f_k$ sur $[1\,;\,\mathrm e]$ vaille $0$ ? Justifier.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Calcul intégral
Fonctions logarithmes
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Lectures graphiques Convexité et dérivée seconde Point d'inflexion Fonction logarithme népérien Valeur moyenne d'une fonction Étude de fonctions Algorithme Python

Solution écrite

Antilles Guyane 17 juin 2026 J2

Partie A ($k=2$)

  1. Variations de $F_2$ selon le signe de $f_2$ (lecture graphique). $f_2$ change de signe aux abscisses approximatives $0{,}3$ et $2{,}5$ sur $]0\,;\,3]$.
    $F_2$ décroissante sur $]0\,;\,0{,}3]$ et sur $[2{,}5\,;\,3]$, croissante sur $[0{,}3\,;\,2{,}5]$.
  2. $f_2'$ s'annule au maximum de $f_2$ ($x\approx 0{,}75$) ; $f_2''$ s'annule au point d'inflexion A ($x\approx 1{,}6$).
    $f_2'$ : Courbe 1 ; $f_2''$ : Courbe 2.

Partie B ($k=1$)

    1. Dériver $f_1(x)=1-x+\dfrac{1+\ln x}{x}$. $$f_1'(x)=-1+\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-(1+\ln x)}{x^2}=-1-\dfrac{\ln x}{x^{2}}$$
      $$f_1'(x)=-1-\dfrac{\ln x}{x^{2}}$$
    2. Croissances comparées : $\dfrac{\ln x}{x^2}\to 0$.
      $$\lim_{x\to+\infty} f_1'(x)=-1$$
    1. $f_1''(x)=\dfrac{2\ln x-1}{x^3}$ du signe de $2\ln x-1$ ; minimum en $x=\mathrm e^{1/2}$. $$f_1'\left(\mathrm e^{1/2}\right)=-1-\dfrac{1}{2\mathrm e}$$
      $f_1'$ décroissante puis croissante ; minimum $-1-\dfrac{1}{2\mathrm e}$ en $\mathrm e^{1/2}$.
    2. $-\ln x\to+\infty$ et $x^2\to 0^+$ quand $x\to 0^+$.
      $$\lim_{x\to 0^+} f_1'(x)=+\infty$$
    3. TVI sur $]0\,;\,\mathrm e^{1/2}]$ ; $f_1'< -1<0$ sur $[\mathrm e^{1/2}\,;\,+\infty[$. Unique $\alpha\in]0\,;\,\mathrm e^{1/2}[$ tel que $f_1'(\alpha)=0$. Alors $f_1'>0$ sur $]0\,;\,\alpha[$ et $f_1'<0$ sur $]\alpha\,;\,+\infty[$.
      Unique $\alpha$ ; $f_1$ admet un maximum en $\alpha$.
    4. Recherche de seuil à pas $0{,}01$ tant que $d(u)>0$. 
      def d(x):
    return -1-ln(x)/x**2

def alpha():
    u = 0.5
    while d(u) > 0:
        u = u + 0.01
    return u

Partie C

  1. $H=\dfrac{1}{2}u^2$ avec $u=1+\ln x$ ; $H'=u'u=\dfrac{1+\ln x}{x}=h$.
    $H'=h$ : $H$ est une primitive de $h$.
  2. Valeur moyenne $\mu=\dfrac{1}{\mathrm e-1}\displaystyle\int_1^{\mathrm e}f_k$ ; $\mu=0\Leftrightarrow k=\dfrac{(\mathrm e-1)^2}{3}$. $$\mu=\dfrac{1}{\mathrm e-1}\left[x-\dfrac{x^2}{2}+k H(x)\right]_1^{\mathrm e}=\dfrac{2\mathrm e-\mathrm e^2+3k-1}{2(\mathrm e-1)}$$ $$\mu=0 \iff k=\dfrac{(\mathrm e-1)^2}{3}>0.$$
    Oui, pour $$k=\dfrac{(\mathrm e-1)^2}{3}.$$

Antilles Guyane 17 juin 2026 J2