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Exercice 3

Antilles Guyane • Jour 2 • 17 juin 2026
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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. Le plan est muni d'un repère orthonormé.
    1. On considère $(E_1):\ y'+2y=0$. Soit $f$ la solution telle que $f(0)=1$.

      Affirmation 1 : La courbe de $f$ passe par $A\left(\ln 2\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$.

    2. Soit $f(x)=x-\cos(x)$ sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$.

      Affirmation 2 : Sur cet intervalle, la courbe de $f$ est au-dessus de ses tangentes.

    3. Soit $f(x)=1+\dfrac{\sin(x)}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

      Affirmation 3 : La droite $y=1$ est asymptote horizontale de la courbe de $f$.

  2. On considère $(E_2):\ y'-3y=2-6x$.

    Affirmation 4 : $f(x)=2x-\mathrm e^{3x}$ est solution de $(E_2)$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Limites de fonctions
Primitives et équations différentielles
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Convexité et dérivée seconde Fonction exponentielle

Solution écrite

Antilles Guyane 17 juin 2026 J2

    1. $(E_1):y'=-2y$ ; $f(0)=1$ donne $f(x)=\mathrm e^{-2x}$. $$f(\ln 2)=\mathrm e^{-2\ln 2}=\mathrm e^{\ln\frac{1}{4}}=\dfrac{1}{4}\neq\dfrac{1}{2}$$
      Affirmation 1 : FAUSSE.
    2. $f''(x)=\cos x\leqslant 0$ sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$ : $f$ concave, courbe sous ses tangentes. $$f'(x)=1+\sin x,\qquad f''(x)=\cos x.$$
      Affirmation 2 : FAUSSE.
    3. Encadrement $-\dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{\sin x}{x}\leqslant\dfrac{1}{x}$ puis théorème des gendarmes. $$1-\dfrac{1}{x}\leqslant f(x)\leqslant 1+\dfrac{1}{x} \implies \lim_{x\to+\infty}f(x)=1.$$
      Affirmation 3 : VRAIE.
  2. Vérifier $f'-3f=2-6x$ pour $f(x)=2x-\mathrm e^{3x}$. $$f'(x)=2-3\mathrm e^{3x},\qquad f'-3f=2-3\mathrm e^{3x}-3(2x-\mathrm e^{3x})=2-6x.$$
    Affirmation 4 : VRAIE.

Antilles Guyane 17 juin 2026 J2