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Exercice 2

Antilles Guyane • Jour 2 • 17 juin 2026
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Dans une salle d'escalade, un module en forme de tétraèdre ABCD est en cours de fabrication.

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\mathrm{A}\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k}\right)$ (unité : mètre).

Points : $\mathrm B\left(\dfrac{9}{2}\,;\,0\,;\,0\right)$, $\mathrm C\left(\dfrac{9}{4}\,;\,3\,;\,0\right)$ et $\mathrm D\left(\dfrac{3}{2}\,;\,1\,;\,3\right)$.

Tétraèdre ABCD

Partie A

    1. Montrer que le triangle ABC est isocèle en C.
    2. Montrer que l'aire du triangle ABC est égale à $6{,}75$~m$^2$.
    1. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $z=0$.
    2. Montrer que $H\left(\dfrac{3}{2}\,;\,1\,;\,0\right)$ est le projeté orthogonal de D sur $(ABC)$.
  3. En déduire le volume du module ($\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h$).

Partie B

  1. Soit $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}$.
    1. Montrer que $\vec{n}$ est normal au plan $(BCD)$.
    2. En déduire l'équation $4x+3y+3z-18=0$.
    3. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale à $(BCD)$ et passant par D.
  2. On admet que $\Delta$ et $(ABC)$ sont sécants en L. Montrer que $L\left(-\dfrac{5}{2}\,;\,-2\,;\,0\right)$.
  3. Le module est adapté aux débutants si $\widehat{LDH}<60^{\circ}$. Montrer que ce module est adapté aux débutants.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Antilles Guyane 17 juin 2026 J2

Partie A

    1. Distances dans le repère orthonormé. $$\mathrm{AC}=\sqrt{\left(\dfrac{9}{4}\right)^2+3^2}=\sqrt{\dfrac{225}{16}}=\dfrac{15}{4},\qquad \mathrm{CB}=\sqrt{\left(-\dfrac{9}{4}\right)^2+3^2}=\dfrac{15}{4}.$$
      Triangle ABC isocèle en C.
    2. Hauteur/médiane issue de C : $I$ milieu de $[AB]$, $\mathcal{A}=\dfrac{\mathrm{AB}\times\mathrm{CI}}{2}$. $$I\left(\dfrac{9}{4}\,;\,0\,;\,0\right),\quad \mathrm{AB}=\dfrac{9}{2},\quad \mathrm{CI}=3.$$ $$\mathcal{A}_{\mathrm{ABC}}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{9}{2}\times 3=\dfrac{27}{4}=6{,}75$$
      Aire $=6{,}75$~m$^2$
    1. $z_A=z_B=z_C=0$ ; $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ non colinéaires.
      $$z=0$$
    2. $H\in(ABC)$ et $(HD)\perp(ABC)$. $$z_H=0$$ et $$\overrightarrow{HD}\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}$$ colinéaire au normal $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.
      $H\left(\dfrac{3}{2}\,;\,1\,;\,0\right)$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(ABC)$.
  3. $\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h$ avec $h=\mathrm{DH}=3$. $$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times 6{,}75\times 3=6{,}75$$
    $$\mathcal{V}=6{,}75$$~m$^3$

Partie B

    1. $\vec n\cdot\overrightarrow{BC}=\vec n\cdot\overrightarrow{BD}=0$. $$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-\dfrac{9}{4}\\3\\0\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}.$$ $$\vec n\cdot\overrightarrow{BC}=-9+9=0,\qquad \vec n\cdot\overrightarrow{BD}=-12+3+9=0.$$
      $\vec n$ est normal au plan $(BCD)$.
    2. Équation $4x+3y+3z+d=0$ passant par $B\left(\dfrac{9}{2}\,;\,0\,;\,0\right)$. $$4\times\dfrac{9}{2}+d=0 \iff d=-18$$
      $$4x+3y+3z-18=0$$
    3. $\Delta$ dirigée par $\vec n$ et passant par $D$.
      $$\begin{cases}x=\dfrac{3}{2}+4t\\ y=1+3t\\ z=3+3t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}$$
  2. Intersection de $\Delta$ avec $(ABC)$ : $z=0$. $$3+3t=0 \iff t=-1$$ d'où $$L\left(\dfrac{3}{2}-4\,;\,1-3\,;\,0\right)=\left(-\dfrac{5}{2}\,;\,-2\,;\,0\right).$$
    $$\mathrm L\left(-\dfrac{5}{2}\,;\,-2\,;\,0\right)$$
  3. Produit scalaire $\overrightarrow{DH}\cdot\overrightarrow{DL}=\|\overrightarrow{DH}\|\,\|\overrightarrow{DL}\|\cos\widehat{LDH}$. $$\overrightarrow{DH}\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{DL}\begin{pmatrix}-4\\-3\\-3\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{DH}\cdot\overrightarrow{DL}=9.$$ $$\mathrm{DL}=\sqrt{34},\qquad \cos(\widehat{LDH})=\dfrac{3\sqrt{34}}{34}\approx 0{,}514$$ donc $$\widehat{LDH}\approx 59{,}0^{\circ}<60^{\circ}.$$
    Le module est adapté aux débutants.

Antilles Guyane 17 juin 2026 J2