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Exercice 1

Antilles Guyane • Jour 2 • 17 juin 2026
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Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

On s'intéresse à un réseau de communication constitué d'une chaîne de relais. À chaque transmission, des erreurs peuvent apparaître.

Pour chaque relai : si le message reçu est sans erreur, il a $94\,\%$ de chances d'être transmis sans erreur ; s'il comporte des erreurs, il y a $35\,\%$ de chances que les erreurs soient corrigées.

Partie A

On admet que $P(A_1)=0{,}96$, où $A_1$ : « le message reçu par le premier relai est sans erreur » et $A_2$ pour le deuxième relai.

  1. Recopier et compléter l'arbre pondéré.
    Arbre de probabilités
  2. Montrer que $P(A_2)=0{,}9164$.
  3. Calculer $P_{A_2}(\overline{A_1})$ (arrondi à $10^{-4}$). Interpréter.

Partie B

La probabilité qu'un test soit positif est $0{,}04$. Échantillon de $50$ tests. $X\sim\mathcal{B}(50\,;\,0{,}04)$.

    1. Déterminer $P(X=4)$ (arrondi à $10^{-2}$).
    2. Donner $P(X\geqslant 1)$ (arrondi à $10^{-2}$).
    3. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
  2. Pour $25$ relais indépendants, $M=\dfrac{X_1+\cdots+X_{25}}{25}$ avec $E(X_i)=2$ et $V(X_i)=1{,}92$.
    1. Vérifier $E(M)=2$ et montrer $V(M)=0{,}0768$.
    2. À l'aide de Bienaymé-Tchebychev, montrer que $P(M<7)>0{,}99$ (indication : $P(M<7)=P(-3<M<7)$).

Partie C

On admet $p_{n+1}=0{,}59 p_n+0{,}35$ avec $p_1=0{,}96$.

  1. Montrer par récurrence que pour tout $n\geqslant 1$, $p_{n+1}\leqslant p_n$.
  2. Montrer que $(p_n)$ est convergente.
  3. Déterminer la valeur exacte de sa limite.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles
Loi binomiale
Somme de variables aléatoires
Suites et Limites

Notions détaillées

Suites récurrentes Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Raisonnement par récurrence Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Antilles Guyane 17 juin 2026 J2

Partie A

  1. Lecture des données et complémentarité sur chaque branche.
    • $P(A_1)=0{,}96$, $P(\overline{A_1})=0{,}04$ ;
    • $P_{A_1}(A_2)=0{,}94$, $P_{A_1}(\overline{A_2})=0{,}06$ ;
    • $P_{\overline{A_1}}(A_2)=0{,}35$, $P_{\overline{A_1}}(\overline{A_2})=0{,}65$.
    Arbre pondéré complété.
  2. $A_1$ et $\overline{A_1}$ partitionnent l'univers ; formule des probabilités totales. $$P(A_2)=P(A_1)\times P_{A_1}(A_2)+P(\overline{A_1})\times P_{\overline{A_1}}(A_2)$$ $$P(A_2)=0{,}96\times 0{,}94+0{,}04\times 0{,}35=0{,}9024+0{,}014=0{,}9164$$
    $$P(A_2)=0{,}9164$$
  3. Définition des probabilités conditionnelles. $$P_{A_2}(\overline{A_1})=\dfrac{P(\overline{A_1}\cap A_2)}{P(A_2)}=\dfrac{0{,}04\times 0{,}35}{0{,}9164}=\dfrac{0{,}014}{0{,}9164}\approx 0{,}0153$$
    $$P_{A_2}(\overline{A_1})\approx 0{,}0153$$
    Arrondi à $10^{-4}$. Probabilité que le 1er relai ait reçu des erreurs sachant que le 2e reçoit un message sans erreur.

Partie B

    1. $X\sim\mathcal{B}(50\,;\,0{,}04)$ ; formule binomiale. $$P(X=4)=\binom{50}{4}(0{,}04)^4(0{,}96)^{46}\approx 0{,}090$$
      $$P(X=4)\approx 0{,}09$$
      Arrondi à $10^{-2}$.
    2. À la calculatrice : $P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)$. $$P(X\geqslant 1)\approx 0{,}8701$$
      $$P(X\geqslant 1)\approx 0{,}87$$
      Arrondi à $10^{-2}$.
    3. $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$. $$E(X)=50\times 0{,}04=2,\qquad V(X)=50\times 0{,}04\times 0{,}96=1{,}92$$
      $$E(X)=2 \qquad V(X)=1{,}92$$
    1. Moyenne de $25$ variables i.i.d. : $E(M)=E(X)$, $V(M)=\dfrac{V(X)}{25}$. $$E(M)=2,\qquad V(M)=\dfrac{1{,}92}{25}=0{,}0768$$
      $$E(M)=2 \qquad V(M)=0{,}0768$$
    2. Indication : $P(M<7)=P(-3<M<7)$ ; Bienaymé-Tchebychev avec $t=5$. $$P(M<7)=P(|M-2|<5)=1-P\big(|M-2|\geqslant 5\big)$$ $$P\big(|M-2|\geqslant 5\big)\leqslant \dfrac{0{,}0768}{25}=0{,}003072$$ d'où $$P(M<7)\geqslant 1-0{,}003072=0{,}996928>0{,}99.$$
      $$P(M<7)>0{,}99$$

Partie C

  1. Récurrence sur $P_n$ : « $p_{n+1}\leqslant p_n$ ». Initialisation : $p_2=0{,}59\times 0{,}96+0{,}35=0{,}9164\leqslant p_1=0{,}96$. Hérédité : si $p_{n+1}\leqslant p_n$, alors $0{,}59 p_{n+1}+0{,}35\leqslant 0{,}59 p_n+0{,}35$, soit $p_{n+2}\leqslant p_{n+1}$.
    Pour tout $n\geqslant 1$ : $p_{n+1}\leqslant p_n$.
  2. Suite décroissante et minorée par $0$ (probabilités) : convergence monotone.
    $(p_n)$ est convergente.
  3. Point fixe de $f(x)=0{,}59x+0{,}35$. $$\ell=0{,}59\ell+0{,}35 \iff 0{,}41\ell=0{,}35 \iff \ell=\dfrac{35}{41}$$
    $$\ell=\dfrac{35}{41}$$

Antilles Guyane 17 juin 2026 J2