4

Exercice 4

Antilles Guyane • Jour 1 • 16 juillet 2026
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Partie A : lecture graphique

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\left]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$.

On a tracé la courbe $\mathcal{C}$ de $f$ et la tangente $T$ en A$(1\,;\,0)$. On précise que $T$ passe par B$(0\,;\,-2)$.

Courbe C et tangente T
  1. Déterminer $f'(1)$.
  2. La fonction $f$ est-elle concave sur $\left]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$ ?
  3. Déterminer $f''(1)$.

Partie B : étude de fonction

On admet que $f(x)=x\ln(2x-1)$ sur $\left]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$.

  1. Déterminer la limite de $f$ en $\dfrac{1}{2}$. Interprétation graphique.
  2. Résoudre $f(x)=0$ sur $\left]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$.
  3. On admet $f'(x)=\ln(2x-1)+\dfrac{2x}{2x-1}$.
    1. Montrer que $f''(x)=\dfrac{4(x-1)}{(2x-1)^{2}}$.
    2. Montrer que $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion, intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
    1. Montrer que $f$ est positive sur $[1\,;\,2]$.
    2. On admet $\dfrac{x^{2}}{2x-1}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}\times\dfrac{2}{2x-1}$. Montrer que $$\int_{1}^{2}\dfrac{x^{2}}{2x-1}\,\mathrm dx=1+\dfrac{1}{8}\ln(3).$$
    3. Soit $\mathcal{A}$ l'aire délimitée par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=2$. Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ (intégration par parties).

Partie C : généralisation

Pour $a>0$, $f_a(x)=x\ln(ax-1)$ sur $\left]\dfrac{1}{a}\,;\,+\infty\right[$, avec $$f_a''(x)=\dfrac{a(ax-2)}{(ax-1)^{2}}.$$

  1. Montrer que pour tout $a>0$, $\mathcal{C}_a$ admet un unique point d'inflexion $\mathrm A_a$.
  2. Montrer que les points $\mathrm A_a$ sont alignés.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Dérivation et convexité
Fonctions logarithmes
Calcul intégral

Notions détaillées

Lectures graphiques Convexité et dérivée seconde Point d'inflexion Fonction logarithme népérien Intégration par parties Étude de fonctions

Solution écrite

Antilles Guyane 16 juillet 2026 J1

Partie A

  1. $f'(1)$ = coefficient directeur de $T$ passant par $A(1\,;\,0)$ et $B(0\,;\,-2)$. $$f'(1)=\dfrac{-2-0}{0-1}=2$$
    $$f'(1)=2$$
  2. Courbe au-dessus de $T$ sur $]1\,;\,+\infty[$ ; une fonction concave reste sous ses tangentes.
    Non, $f$ n'est pas concave sur $\left]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$.
  3. La courbe traverse $T$ en $A$ : point d'inflexion apparent.
    $$f''(1)=0$$

Partie B

  1. $\ln(2x-1)\to -\infty$ quand $x\to(\frac{1}{2})^+$ ; produit par $x\to\frac{1}{2}$. $$\lim_{x\to(\frac{1}{2})^+} f(x)=-\infty$$
    $$\lim_{x\to(\frac{1}{2})^+} f(x)=-\infty$$ — asymptote verticale $x=\dfrac{1}{2}$.
  2. $x>0$ sur $\left]\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$ : $x\ln(2x-1)=0\Leftrightarrow\ln(2x-1)=0$. $$\ln(2x-1)=0 \iff 2x-1=1 \iff x=1$$
    $$f(x)=0 \Leftrightarrow x=1$$
    1. Dériver $f'(x)=\ln(2x-1)+\dfrac{2x}{2x-1}$. $$f''(x)=\dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{2(2x-1)-2\times 2x}{(2x-1)^2}=\dfrac{4(x-1)}{(2x-1)^{2}}$$
      $$f''(x)=\dfrac{4(x-1)}{(2x-1)^{2}}$$
    2. $f''$ du signe de $x-1$ ; s'annule en changeant de signe en $x=1$ ; $f(1)=0$.
      Inflexion unique en $A(1\,;\,0)$, intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
    1. Sur $[1\,;\,2]$ : $1\leqslant 2x-1\leqslant 3$ donc $\ln(2x-1)\geqslant 0$ et $x>0$.
      $f$ est positive sur $[1\,;\,2]$.
    2. Décomposition admise puis primitive. $$\int_{1}^{2}\dfrac{x^{2}}{2x-1}\,\mathrm dx=\left[\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{8}\ln(2x-1)\right]_{1}^{2}=1+\dfrac{1}{8}\ln 3$$
      $$\int_{1}^{2}\dfrac{x^{2}}{2x-1}\,\mathrm dx=1+\dfrac{1}{8}\ln 3$$
    3. IPP : $u'=x$, $v=\ln(2x-1)$, puis résultat précédent. $$\mathcal{A}=\int_{1}^{2}x\ln(2x-1)\,\mathrm dx=\left[\dfrac{1}{2}x^{2}\ln(2x-1)\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\dfrac{x^{2}}{2x-1}\,\mathrm dx$$ $$\mathcal{A}=2\ln 3-\left(1+\dfrac{1}{8}\ln 3\right)=\dfrac{15}{8}\ln 3-1$$
      $$\mathcal{A}=\dfrac{15}{8}\ln 3-1$$

Partie C

  1. $f_a''(x)$ du signe de $ax-2$ ; changement de signe en $x=\dfrac{2}{a}$ ; $f_a\!\left(\dfrac{2}{a}\right)=0$.
    Inflexion unique en $\mathrm A_a\left(\dfrac{2}{a}\,;\,0\right)$.
  2. Tous les $\mathrm A_a$ ont une ordonnée nulle.
    Les points $\mathrm A_a$ sont sur l'axe des abscisses : alignés.

Antilles Guyane 16 juillet 2026 J1