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Exercice 2

Antilles Guyane • Jour 1 • 16 juillet 2026
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Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

La notice indique que le traitement doit durer au moins $7$~h et qu'il y a un risque de toxicité lorsque la quantité dans le sang est supérieure ou égale à $3$~mg.

Le patient reçoit une première dose de $1$~mg. Deux protocoles sont étudiés indépendamment.

Partie A : premier protocole

On modélise la quantité par une fonction $q$ sur $[0\,;\,+\infty[$ avec $q(0)=1$, solution de $$y'=-\dfrac{3}{10}y+1.$$

  1. Donner les solutions sur $[0\,;\,+\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$.
  2. Montrer que pour tout $t\geqslant 0$, $q(t)=\dfrac{10}{3}-\dfrac{7}{3}\mathrm e^{-\frac{3}{10}t}$.
  3. Déterminer la limite de $q$ en $+\infty$. Interpréter.
  4. Étudier les variations de $q$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
  5. Déterminer au bout de combien de temps le médicament présente un risque. Valeur exacte puis approchée à $10^{-1}$.
  6. D'après ce modèle, le protocole présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.

Partie B : second protocole

La quantité baisse de $30\,\%$ chaque heure ; on injecte $0{,}75$~mg toutes les heures. Suite $(u_n)$ avec $u_0=1$.

  1. Justifier que pour tout $n$, $u_{n+1}=0{,}7\times u_n+0{,}75$.
    1. Montrer par récurrence que pour tout $n$, $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$.
    2. En déduire que $(u_n)$ est convergente.
    3. Déterminer la limite $\ell$ de $(u_n)$.
    4. D'après ce modèle, le traitement présente-t-il un risque ? Justifier.
  3. On pose $v_n=u_n-2{,}5$.
    1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique (raison et terme initial).
    2. Montrer que $u_n=2{,}5-1{,}5\times 0{,}7^{n}$.
  4. Au bout de combien d'injections supplémentaires la quantité dépasse-t-elle $2{,}4$~mg ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles
Suites et Limites

Notions détaillées

Fonction exponentielle Suites géométriques Suites récurrentes Raisonnement par récurrence

Solution écrite

Antilles Guyane 16 juillet 2026 J1

Partie A

  1. Équation $y'=ay+b$ avec $a=-\dfrac{3}{10}$ et $b=1$ : solutions $t\mapsto C\mathrm e^{at}-\dfrac{b}{a}$. $$\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{-3/10}=-\dfrac{10}{3}$$
    Sur $[0\,;\,+\infty[$, $$y(t)=C\mathrm e^{-\frac{3}{10}t}+\dfrac{10}{3},\quad C\in\mathbb{R}.$$
  2. Condition initiale $q(0)=1$ pour déterminer $C$. $$q(t)=C\mathrm e^{-\frac{3}{10}t}+\dfrac{10}{3},\qquad q(0)=1 \implies C+\dfrac{10}{3}=1 \implies C=-\dfrac{7}{3}.$$
    $$q(t)=\dfrac{10}{3}-\dfrac{7}{3}\mathrm e^{-\frac{3}{10}t}$$
  3. $\mathrm e^{-\frac{3}{10}t}\to 0$ quand $t\to +\infty$. $$\lim_{t\to+\infty} q(t)=\dfrac{10}{3}$$
    $$\lim_{t\to+\infty} q(t)=\dfrac{10}{3}$$
    À long terme, la quantité se stabilise vers $\dfrac{10}{3}$~mg.
  4. Signe de $q'(t)$. $$q'(t)=\dfrac{7}{10}\mathrm e^{-\frac{3}{10}t}>0$$ pour tout $t\geqslant 0$.
    $q$ est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
  5. Risque dès $q(t)\geqslant 3$ ; résolution avec $\ln$. $$\dfrac{10}{3}-\dfrac{7}{3}\mathrm e^{-\frac{3}{10}t}\geqslant 3 \iff \mathrm e^{-\frac{3}{10}t}\leqslant \dfrac{1}{7} \iff t\geqslant \dfrac{10}{3}\ln 7.$$
    $$t=\dfrac{10}{3}\ln 7\approx 6{,}5\text{ h}$$
  6. Traitement $\geqslant 7$~h ; toxicité dès environ $6{,}5$~h.
    Oui, le protocole présente un risque : la concentration dépasse $3$~mg avant la fin du traitement.

Partie B

  1. Baisse de $30\,\%$ (facteur $0{,}7$) puis injection de $0{,}75$~mg.
    $$u_{n+1}=0{,}7 u_n+0{,}75$$
    1. Récurrence sur $P_n$ : « $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$ ». Initialisation : $u_0=1$, $u_1=1{,}45$, donc $u_0\leqslant u_1\leqslant 4$. Hérédité : si $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$, alors en multipliant par $0{,}7>0$ et en ajoutant $0{,}75$ : $$u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 0{,}7\times 4+0{,}75=3{,}55\leqslant 4.$$
      Pour tout $n$ : $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$.
    2. Suite croissante et majorée : théorème de convergence monotone.
      $(u_n)$ est convergente.
    3. Point fixe de $f(x)=0{,}7x+0{,}75$. $$\ell=0{,}7\ell+0{,}75 \iff 0{,}3\ell=0{,}75 \iff \ell=2{,}5$$
      $$\ell=2{,}5$$
    4. Suite croissante majorée par sa limite : $u_n\leqslant 2{,}5<3$.
      Non : $\ell=2{,}5<3$, donc pas de risque de toxicité.
    1. $v_n=u_n-2{,}5$ ; calcul de $v_{n+1}$. $$v_{n+1}=0{,}7 u_n+0{,}75-2{,}5=0{,}7(v_n+2{,}5)-1{,}75=0{,}7 v_n.$$
      $(v_n)$ géométrique de raison $0{,}7$ et $v_0=-1{,}5$.
    2. $v_n=v_0\times 0{,}7^n$ puis $u_n=v_n+2{,}5$.
      $$u_n=2{,}5-1{,}5\times 0{,}7^{n}$$
  4. Résoudre $u_n>2{,}4$ avec $\ln$ ($\ln 0{,}7<0$). $$2{,}5-1{,}5\times 0{,}7^n>2{,}4 \iff 0{,}7^n<\dfrac{1}{15} \iff n>\dfrac{-\ln 15}{\ln 0{,}7}\approx 7{,}59.$$
    Après $8$ injections supplémentaires.

Antilles Guyane 16 juillet 2026 J1