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Exercice 2

Métropole • Jour 1 • 16 juin 2026
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Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. Repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k}\right)$. Droite $(d)$ : $$\begin{cases}x=t\\ y=-1{,}5-t\\ z=2-2t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.$$ Points A$(3\,;\,0\,;\,2)$, B$(2\,;\,1\,;\,-3)$ ; plan $(\mathcal{P}):\ -x+y-5z-0{,}5=0$.
    1. Affirmation 1 : $(\mathcal{P})$ est orthogonal à $(AB)$ et passe par le milieu de $[AB]$.
    2. Affirmation 2 : $(d)$ et $(AB)$ sont sécantes.
    3. Soit C$(1{,}5\,;\,-3\,;\,-1)$. Affirmation 3 : $\widehat{\mathrm{ACB}}\approx 70{,}5°$ (arrondi à $10^{-1}$).
  2. Escape game : digicode à 8 symboles. Porte A : code ordonné de 3 symboles distincts ; porte B : code non ordonné de 4 symboles distincts.

    Affirmation 4 : Titouan (porte B) a plus de chances d'ouvrir sa porte que Clotilde (porte A).

Concepts abordés

Chapitres principaux

Combinatoire et dénombrement
Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Métropole 16 juin 2026 J1

    1. Vecteur normal lu sur l'équation du plan ; milieu de $[AB]$ appartenant au plan. Un vecteur normal à $(\mathcal{P})$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\-5\end{pmatrix}$. $$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2-3\\1-0\\-3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\-5\end{pmatrix}=\vec{n}.$$ Donc $(AB)$ est orthogonale à $(\mathcal{P})$. Le milieu I de $[AB]$ vérifie $\mathrm{I}\left(\dfrac{3+2}{2}\,;\,\dfrac{0+1}{2}\,;\,\dfrac{2+(-3)}{2}\right)$, soit $\mathrm{I}(2{,}5\,;\,0{,}5\,;\,-0{,}5)$. $$-2{,}5+0{,}5-5\times(-0{,}5)-0{,}5=-2{,}5+0{,}5+2{,}5-0{,}5=0,$$ donc $\mathrm{I}\in(\mathcal{P})$.
      Affirmation 1 : VRAIE.
      $(\mathcal{P})$ est le plan médiateur de $[AB]$.
    2. Vecteurs directeurs non colinéaires ; système d'intersection sans solution. $(AB)$ est dirigée par $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\-5\end{pmatrix}$ et $(d)$ par $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$, non colinéaires. Une représentation paramétrique de $(AB)$ est $\begin{cases}x=3-s\\ y=s\\ z=2-5s\end{cases}$. L'égalité des points de paramètres $s$ et $t$ conduit au système $$\begin{cases}3-s=t\\ s=-1{,}5-t\\ 2-5s=2-2t\end{cases}$$ qui implique notamment $0=-4{,}5$ : aucune solution. Les droites sont non coplanaires, donc non sécantes.
      Affirmation 2 : FAUSSE.
    3. Produit scalaire dans un repère orthonormé. $$\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}1{,}5\\3\\3\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{CB}=\begin{pmatrix}0{,}5\\4\\-2\end{pmatrix}.$$ $$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=1{,}5\times 0{,}5+3\times 4+3\times(-2)=6{,}75.$$ $$\mathrm{CA}=\sqrt{1{,}5^2+3^2+3^2}=4{,}5,\qquad \mathrm{CB}=\sqrt{0{,}5^2+4^2+(-2)^2}=4{,}5.$$ $$\cos\widehat{\mathrm{ACB}}=\dfrac{6{,}75}{4{,}5^2}=\dfrac{1}{3}\implies \widehat{\mathrm{ACB}}=\arccos\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx 70{,}5°.$$
      Affirmation 3 : VRAIE.
  2. Combinaison vs arrangement ; comparaison des probabilités. Porte B (ordre indifférent, 4 symboles distincts parmi 8) : $\dbinom{8}{4}=70$ codes, probabilité $\dfrac{1}{70}$. Porte A (ordre important, 3 symboles distincts parmi 8) : $A_8^{3}=8\times 7\times 6=336$ codes, probabilité $\dfrac{1}{336}$. Comme $\dfrac{1}{70}>\dfrac{1}{336}$, Titouan a plus de chances d'ouvrir sa porte.
    Affirmation 4 : VRAIE.

Métropole 16 juin 2026 J1