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Exercice 1

Centres étrangers • Jour 2 • 11 juin 2026
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L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k}\right)$.

On considère :

  • les points de l'espace $\mathrm A(1\,;\,0\,;\,3)$, $\mathrm B(2\,;\,1\,;\,-1)$, $\mathrm C(1\,;\,1\,;\,1)$ et $\mathrm H(0\,;\,2\,;\,1)$ ;
  • le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ 2\end{pmatrix}$.
  1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan de l'espace.
  2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
  3. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
  4. Vérifier que le point H appartient au plan $(ABC)$.
  5. Déterminer la mesure en degré de l'angle $\widehat{BAH}$.
  6. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par le point H.
  7. Déterminer les coordonnées du point $\mathrm S\left(x_{\mathrm{S}}\,;\,y_{\mathrm{S}}\,;\,z_{\mathrm{S}}\right)$ de la droite $(d)$ tel que :
    • la distance entre le point S et le plan $(ABC)$ est $6$ ;
    • son abscisse $x_{\mathrm{S}}$ est positive.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 2
Géométrie dans l'espace: partie 1

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Centres étrangers 11 juin 2026 J2

  1. $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -4\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -2\end{pmatrix}$ : coordonnées non proportionnelles.
    A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent un plan.
  2. Produits scalaires dans le repère orthonormé. $$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=4+4-8=0 \qquad \vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0+4-4=0$$
    $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$.
  3. Équation $4x+4y+2z+d=0$ passant par A, puis simplification. $$4\times 1+4\times 0+2\times 3+d=0 \implies d=-10$$
    $$2x+2y+z-5=0$$
  4. Substitution des coordonnées de H. $$2\times 0+2\times 2+1-5=0$$
    $H \in (ABC)$.
  5. $\overrightarrow{AH}=\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ -2\end{pmatrix}$ ; $\mathrm{AB}=3\sqrt{2}$, $\mathrm{AH}=3$. $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=9=9\sqrt{2}\,\cos(\widehat{BAH}) \iff \cos(\widehat{BAH})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
    $$\widehat{BAH}=45^{\circ}$$
  6. $(d)$ de direction $\vec{n}$, passant par H.
    $$\begin{cases}x=4t\\ y=2+4t\\ z=1+2t\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R})$$
  7. H est le projeté orthogonal de S ; $\mathrm{SH}=6|t|=6$ et $x_S=4t\geqslant 0$. $$|t|=1 \quad\text{et}\quad t\geqslant 0 \implies t=1$$
    $\mathrm S(4\,;\,6\,;\,3)$

Centres étrangers 11 juin 2026 J2