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Exercice 2

Centres étrangers • Jour 1 • 10 juin 2026
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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

  1. On considère l'équation différentielle suivante où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. $$(E): \quad y'+y=2 \cos (x)$$

    Affirmation 1 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\quad f(x)=4 \mathrm e^{-x}+\cos (x)+\sin (x)\quad$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

  2. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $\quad f(x)=2 x$ $\quad$ et $\quad g(x)=\sin (x)$.

    On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère et $\mathcal{C}_{g}$ celle de la fonction $g$.

    Affirmation 2 : Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ ont un seul point d'intersection.

  3. On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_{n}=\dfrac{2 n+\sin (n)}{n+1}$$

    Affirmation 3 : La suite $\left(v_{n}\right)$ diverge.

  4. On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{1}=1$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ : $$u_{n+1}=u_{n}+2 n+1$$

    Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ on a $u_{n}=n^{2}$.

  5. On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=\mathrm e^{-n}$.

    On pose, pour tout entier naturel $n$, $\quad S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$.

    Affirmation 5 : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_{n}=\dfrac{\mathrm e}{\mathrm e-1}$

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles
Suites et Limites

Notions détaillées

Somme des termes d'une suite Suites géométriques Limite de suites Raisonnement par récurrence

Solution écrite

Centres étrangers 10 juin 2026 J1

  1. On calcule $f'+f$ et on compare au second membre. $$f'(x)=-4\mathrm e^{-x}-\sin(x)+\cos(x)$$ $$f'(x)+f(x)=-4\mathrm e^{-x}-\sin(x)+\cos(x)+4\mathrm e^{-x}+\cos(x)+\sin(x)=2\cos(x)$$
    Affirmation 1 : VRAIE.
  2. On étudie $h(x)=2x-\sin(x)$ : $h(x)=0$ ssi intersection. $$h'(x)=2-\cos(x)\geqslant 1>0$$ donc $h$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De plus $h(0)=0$, donc $0$ est l'unique racine.
    Affirmation 2 : VRAIE.
  3. Encadrement puis théorème des gendarmes. $$-1\leqslant\sin(n)\leqslant 1 \implies 2-\dfrac{3}{n+1}\leqslant v_n\leqslant 2-\dfrac{1}{n+1}$$ Les bornes tendent vers $2$, donc $v_n\to 2$ : la suite converge (elle ne diverge pas).
    Affirmation 3 : FAUSSE.
  4. Récurrence : $P_n$ : « $u_n=n^2$ ».
    • Initialisation : $u_1=1=1^2$.
    • Hérédité : si $u_n=n^2$, alors $u_{n+1}=n^2+2n+1=(n+1)^2$.
    Affirmation 4 : VRAIE.
  5. $(u_n)$ géométrique de raison $\mathrm e^{-1}$ et de premier terme $u_0=1$. $$S_n=\dfrac{1-(\mathrm e^{-1})^{n+1}}{1-\mathrm e^{-1}}=\dfrac{\mathrm e}{\mathrm e-1}\left(1-(\mathrm e^{-1})^{n+1}\right)$$ Comme $0<\mathrm e^{-1}<1$, $(\mathrm e^{-1})^{n+1}\to 0$, d'où $S_n\to\dfrac{\mathrm e}{\mathrm e-1}$.
    Affirmation 5 : VRAIE.

Centres étrangers 10 juin 2026 J1