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Exercice 3

Asie • Jour 1 • 9 juin 2026
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Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k}\right)$, on considère les points suivants

$$\mathrm{A}(0\,;\,0\,;\,1)\,;\quad \mathrm{B}(1\,;\,2\,;\,3)\,;\quad \mathrm{C}(3\,;\,3\,;\,1)\,;\quad \mathrm{E}(2\,;\,-2\,;\,2)\,;\quad \mathrm{F}(3\,;\,0\,;\,4)\quad \text{et}\quad \mathrm{G}(5\,;\,1\,;\,2)$$
    1. Montrer que les points B, C et E ne sont pas alignés.
    2. Justifier que le vecteur $\overrightarrow{AF}$ est normal au plan $(BCE)$.
    3. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(BCE)$ est $\quad x+z-4=0$.
    1. Montrer que le point G n'appartient pas au plan $(BCE)$.
    2. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AG}$ ne sont pas coplanaires.
    3. En déduire que la droite $(AG)$ et le plan $(BCE)$ sont sécants.
  3. Pour la suite de l'exercice, on appellera P le point d'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BCE)$.
    1. Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est : $$\begin{cases} x=5t \\ y=t \\ z=1+t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$$
    2. En déduire les coordonnées du point P.
    3. Montrer que le point P est le milieu du segment $[EC]$.
  4. Déterminer l'intersection des plans $(BCE)$ et $(ACG)$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace

Solution écrite

Asie 9 juin 2026 J1

    1. Coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BE}$. $$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix}1\\-4\\-1\end{pmatrix}$$ Ces coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BE}$ ne sont pas colinéaires.
      B, C et E ne sont pas alignés ; ils définissent le plan $(BCE)$.
    2. $\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix}$. Produits scalaires dans le repère orthonormé. $$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BC}=3\times 2+0\times 1+3\times(-2)=0$$ $$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BE}=3\times 1+0\times(-4)+3\times(-1)=0$$ $\overrightarrow{AF}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCE)$.
      $\overrightarrow{AF}$ est normal au plan $(BCE)$.
    3. Équation de la forme $3x+3z+d=0$. Passage par B$(1\,;\,2\,;\,3)$. $$3\times 1+3\times 3+d=0 \iff d=-12$$ D'où $3x+3z-12=0$, et en divisant par 3 :
      $$x+z-4=0$$
    1. On teste si les coordonnées de G vérifient l'équation du plan. $$x_G+z_G-4=5+2-4=3\neq 0$$
      $G\notin(BCE)$.
    2. $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}$. Les vecteurs sont coplanaires ssi $\overrightarrow{AG}=a\overrightarrow{BC}+b\overrightarrow{BE}$. $$\begin{cases}2a+b=5\\ a-4b=1\\ -2a-b=1\end{cases}$$ En additionnant la première et la troisième équation : $0=-4$, système incompatible.
      $\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AG}$ ne sont pas coplanaires.
    3. $\overrightarrow{AG}$ n'appartient pas au plan $(BCE)$, donc $(AG)$ n'est ni incluse ni parallèle au plan. Les seules positions relatives d'une droite et d'un plan étant l'inclusion, le parallélisme strict ou l'intersection en un point :
      $(AG)$ et $(BCE)$ sont sécants.
    1. Point A$(0\,;\,0\,;\,1)$ et vecteur directeur $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}$.
      $$\begin{cases}x=5t\\ y=t\\ z=1+t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$$
    2. P $\in(AG)$ et P $\in(BCE)$ : ses coordonnées $(5t\,;\,t\,;\,1+t)$ vérifient $x+z-4=0$. $$5t+(1+t)-4=0 \iff 6t=3 \iff t=\dfrac{1}{2}$$
      $$\mathrm P\left(\dfrac{5}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{3}{2}\right)$$
    3. Milieu de $[EC]$ : $\left(\dfrac{2+3}{2}\,;\,\dfrac{-2+3}{2}\,;\,\dfrac{2+1}{2}\right)$. On obtient $\left(\dfrac{5}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{3}{2}\right)$, soit les coordonnées de P.
      P est le milieu de $[EC]$.
  4. Les plans $(BCE)$ et $(ACG)$ ont le point C en commun (non strictement parallèles) et ne sont pas confondus car $G\in(ACG)$ mais $G\notin(BCE)$. Ils sont donc sécants selon une droite. Or P $\in(AG)\subset(ACG)$ et P $\in(BCE)$, donc P est un second point commun : la droite $(CP)$ est contenue dans l'intersection.
    $$(BCE)\cap(ACG)=(CP)$$

Asie 9 juin 2026 J1