Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation.
- On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1\,;\,+\infty[$ par :
$$f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}$$
Affirmation 1 : La fonction $f$ admet pour limite $1$ en $+\infty$.
- On considère la suite $(w_{n})$ définie par $\quad w_{0}=1$ $\quad$ et pour tout entier naturel $n$ par :
$$w_{n+1}=w_{n}+2n+3$$
Affirmation 2 : Pour tout entier naturel $n$,
$$w_{n}=(n+1)^{2}$$
- Soit $p$ un nombre réel tel que $\quad 0 < p < 1$.
On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $3$ et $p$.
On note $P\big(X=1\big)$ la probabilité de l'évènement $(X=1)$.
Affirmation 3 : $\quad P\big(X=1\big)=3p-6p^{2}+3p^{3}$.
- On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par :
$$v_{n}=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{n x}\,\mathrm{d}x$$
Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,
$$v_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n}}{n}$$
- On colorie en rouge, jaune ou noir chacune des $16$ cases d'un quadrillage.
Affirmation 5 : On peut réaliser $\dbinom{16}{3}$ coloriages différents.