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Exercice 1

Asie • Jour 1 • 9 juin 2026
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Un tireur à l'arc s'entraîne sur une cible dans le but d'atteindre son centre.

On modélise la situation de la façon suivante :

  • au premier tir, il atteint le centre de la cible avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ ;
  • pour les tirs suivants :
    • lorsqu'il a atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne à nouveau le centre de la cible est $\dfrac{4}{5}$ ;
    • lorsqu'il n'a pas atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne le centre de la cible est $\dfrac{1}{3}$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement $T_{n}$ : « Le tireur atteint le centre de la cible au $n$-ième tir ».

On note $p_{n}=P\left(T_{n}\right)$ la probabilité que l'évènement $T_{n}$ se réalise.

  1. Donner la valeur de $p_{1}$ et montrer que $p_{2}=\dfrac{17}{30}$.
  2. Recopier sur la copie l'arbre de probabilité suivant et compléter les pointillés avec les probabilités qui conviennent :
    Arbre de probabilités
  3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : $$p_{n+1}=\dfrac{7}{15} p_{n}+\dfrac{1}{3}$$
  4. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $$u_{n}=p_{n}-\dfrac{5}{8}$$
    1. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{7}{15}$.
    2. Déterminer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
    3. En déduire une expression de $p_{n}$ en fonction de $n$.
  5. Déterminer la limite de la suite $(p_{n})$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
  6. On considère ci-dessous une fonction seuil, incomplète, écrite en langage Python.

    Recopier cette fonction sur la copie en complétant les pointillés afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $p_{n}$ soit supérieur ou égal à $0{,}6$. 
    def seuil():
    n = 1
    p = 0.5
    while .........:
        n = .........
        p = .........
    return .........
  7. Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'inéquation $\quad p_{n} \geqslant 0{,}6$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles
Suites et Limites

Notions détaillées

Suites géométriques Formule des probabilités totales Arbres pondérés Algorithme Python

Solution écrite

Asie 9 juin 2026 J1

  1. D'après l'énoncé, $p_1=\dfrac{1}{2}$. Les événements $T_1$ et $\overline{T_1}$ partitionnent l'univers : formule des probabilités totales. $$p_2=P(T_2)=P(T_1)\times P_{T_1}(T_2)+P(\overline{T_1})\times P_{\overline{T_1}}(T_2)$$ $$p_2=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{17}{30}$$
    $$p_1=\dfrac{1}{2} \qquad p_2=\dfrac{17}{30}$$
  2. Complémentarité et données de l'énoncé.
    • $P(\overline{T_n})=1-p_n$ ;
    • $P_{T_n}(T_{n+1})=\dfrac{4}{5}$ et $P_{T_n}(\overline{T_{n+1}})=\dfrac{1}{5}$ ;
    • $P_{\overline{T_n}}(T_{n+1})=\dfrac{1}{3}$ et $P_{\overline{T_n}}(\overline{T_{n+1}})=\dfrac{2}{3}$.
    Arbre complété avec les probabilités ci-dessus.
  3. $T_n$ et $\overline{T_n}$ partitionnent l'univers : formule des probabilités totales. $$p_{n+1}=p_n\times\dfrac{4}{5}+(1-p_n)\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{5}p_n+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}p_n$$ $$p_{n+1}=p_n\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{15}p_n+\dfrac{1}{3}$$
    $$p_{n+1}=\dfrac{7}{15}p_n+\dfrac{1}{3}$$
    1. On a $p_n=u_n+\dfrac{5}{8}$. On calcule $u_{n+1}$. $$u_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{7}{15}p_n+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{7}{15}p_n-\dfrac{7}{24}$$ $$u_{n+1}=\dfrac{7}{15}\left(u_n+\dfrac{5}{8}\right)-\dfrac{7}{24}=\dfrac{7}{15}u_n+\dfrac{7}{24}-\dfrac{7}{24}=\dfrac{7}{15}u_n$$
      $(u_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{7}{15}$.
    2. $u_1=p_1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{8}=-\dfrac{1}{8}$.
      $$u_n=-\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1}$$
    3. $p_n=u_n+\dfrac{5}{8}$.
      $$p_n=\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1}$$
  5. Comme $0<\dfrac{7}{15}<1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1}=0$. Par produit puis somme : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=\dfrac{5}{8}$.
    $$\lim_{n\to+\infty}p_n=\dfrac{5}{8}$$
    À long terme, la probabilité d'atteindre le centre se stabilise autour de $\dfrac{5}{8}$.
  6. La boucle tourne tant que $p<0{,}6$, en actualisant $n$ et $p$. 
    def seuil():
    n = 1
    p = 0.5
    while p < 0.6:
        n = n + 1
        p = p*7/15 + 1/3
    return n
  7. On résout $p_n\geqslant 0{,}6$ à l'aide de l'expression explicite. $$\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1}\geqslant 0{,}6 \iff \left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1}\leqslant 0{,}2$$ $$\iff (n-1)\ln\!\left(\dfrac{7}{15}\right)\leqslant\ln(0{,}2) \iff n\geqslant 1+\dfrac{\ln(0{,}2)}{\ln\!\left(\dfrac{7}{15}\right)}\approx 3{,}1$$
    $$n \geqslant 4$$
    À partir de quatre tirs, $p_n\geqslant 0{,}6$.

Asie 9 juin 2026 J1