4

Exercice 4

Amérique du Nord • Jour 2 • 21 mai 2026
Connectez-vous pour suivre vos progrès

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par

$$f(x)=x(\ln x)^2.$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
  2. Pour tout réel $x>0$, on pose $g(x)=x\ln x$.
    1. Démontrer que pour tout réel $x>0$, on a $f(x)=4\left(g\left(\sqrt{x}\right)\right)^2$.
    2. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$.
  3. Dans cette question, on étudie les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
    1. Démontrer que sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$, $f'(x)=(\ln x)(2+\ln x)$.
    2. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
    3. Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;\,1]$.
  4. On considère l'équation $f(x)=2$.
    1. Justifier que, sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$, cette équation admet une unique solution. On note $\alpha$ cette solution.
    2. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.
  5. Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $]0\,;\,1]$.
    1. Donner une interprétation géométrique de $\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\mathrm dx$.
    2. À l'aide d'une intégration par parties, justifier que : $$\int_a^1 f(x)\,\mathrm dx=-\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_a^1 x\ln x\,\mathrm dx.$$
    3. En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que : $$\int_a^1 f(x)\,\mathrm dx=-\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2+\dfrac{a^2}{2}\ln a+\dfrac{1}{4}-\dfrac{a^2}{4}.$$
    4. Déterminer la limite de $\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\mathrm dx$ quand $a$ tend vers $0$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Calcul intégral
Fonctions logarithmes
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Fonction logarithme népérien Théorème fondamental de l’intégration Intégration par parties Étude de fonctions

Solution écrite

Amérique du Nord 21 mai 2026 J2

  1. Produit de limites infinies. Pour $x>0$, $f(x)=x(\ln x)^{2}$. Comme $x\to+\infty$ et $\ln x\to+\infty$, on a par produit :
    $$\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$$
    1. Identité $\ln(\sqrt{x})=\dfrac{1}{2}\ln x$. $$4\bigl(g(\sqrt{x})\bigr)^{2}=4\left(\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{2}\ln x\right)^{2}=4\cdot x\cdot\dfrac{1}{4}(\ln x)^{2}=x(\ln x)^{2}=f(x)$$
      $$f(x)=4\bigl(g(\sqrt{x})\bigr)^{2}$$
    2. Croissances comparées : $X\ln X\to 0$ quand $X\to 0$. $\sqrt{x}\to 0$ et, par croissances comparées, $X\ln X\to 0$ quand $X\to 0$, donc $g(\sqrt{x})\to 0$. Par produit :
      $$\lim_{x\to 0} f(x)=0$$
    1. Produit $uv$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=(\ln x)^{2}$. $$f'(x)=(\ln x)^{2}+x\cdot\dfrac{2\ln x}{x}=(\ln x)^{2}+2\ln x=(\ln x)(\ln x+2)$$
      $$f'(x)=(\ln x)(2+\ln x)$$
    2. Signe de $f'$ : racines $x=\mathrm{e}^{-2}$ et $x=1$. $2+\ln x>0 \iff x>\mathrm{e}^{-2}$ et $\ln x>0 \iff x>1$. Ainsi $f'$ est positive sur $]0\,;\,\mathrm{e}^{-2}[$, négative sur $]\mathrm{e}^{-2}\,;\,1[$, positive sur $]1\,;\,+\infty[$.
      $f$ croissante sur $]0\,;\,\mathrm{e}^{-2}]$, décroissante sur $[\mathrm{e}^{-2}\,;\,1]$, croissante sur $[1\,;\,+\infty[$.
    3. Maximum local en $x=\mathrm{e}^{-2}$ sur $]0\,;\,1]$. $$f(\mathrm{e}^{-2})=\mathrm{e}^{-2}\bigl(\ln(\mathrm{e}^{-2})\bigr)^{2}=\mathrm{e}^{-2}\times 4=4\mathrm{e}^{-2}$$
      Maximum : $4\mathrm{e}^{-2}$.
    1. Sur $]0\,;\,1]$ le max est $<2$ ; théorème de la bijection sur $[1\,;\,+\infty[$. Sur $]0\,;\,1]$, le maximum vaut $4\mathrm{e}^{-2}\approx 0,54 < 2$, donc aucune solution. Sur $[1\,;\,+\infty[$, $f$ est continue, strictement croissante, $f(1)=0<2$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. D'après le théorème de la bijection, il existe une unique solution $\alpha$ sur $[1\,;\,+\infty[$, donc sur $]0\,;\,+\infty[$.
      Solution unique $\alpha$.
    2. À la calculatrice : $\alpha \approx 2,46$.
      $$2,4 < \alpha < 2,5$$
    1. $f$ positive sur $[a\,;\,1]$. L'intégrale $\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire (en u.a.) du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=1$.
    2. Intégration par parties : $u'=x$, $v=(\ln x)^{2}$. On pose $u(x)=\dfrac{x^{2}}{2}$ et $v(x)=(\ln x)^{2}$, d'où $v'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}$. Alors $$\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x=\Bigl[\dfrac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2}\Bigr]_a^1-\int_a^1 x\ln x\,\mathrm{d}x=-\dfrac{a^{2}}{2}(\ln a)^{2}-\int_a^1 x\ln x\,\mathrm{d}x.$$
      Formule de l'énoncé obtenue par IPP.
    3. Seconde IPP : $u'=x$, $v=\ln x$. $$\int_a^1 x\ln x\,\mathrm{d}x=\Bigl[\dfrac{x^{2}}{2}\ln x\Bigr]_a^1-\int_a^1 \dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x=-\dfrac{a^{2}}{2}\ln a-\dfrac{1}{4}+\dfrac{a^{2}}{4}.$$ En reportant : $$\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x=-\dfrac{a^{2}}{2}(\ln a)^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\ln a+\dfrac{1}{4}-\dfrac{a^{2}}{4}.$$
      Formule de l'énoncé obtenue par une seconde IPP.
    4. Croissances comparées : $a\ln a\to 0$ quand $a\to 0$. $$\int_a^1 f=-\dfrac{1}{2}(a\ln a)^{2}+\dfrac{a}{2}\cdot(a\ln a)+\dfrac{1}{4}-\dfrac{a^{2}}{4}.$$ Comme $a\ln a\to 0$, les deux premiers termes tendent vers $0$ et $-\dfrac{a^{2}}{4}\to 0$, d'où la limite $\dfrac{1}{4}$.
      $$\lim_{a\to 0} \int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{4}$$

Amérique du Nord 21 mai 2026 J2