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Exercice 3

Amérique du Nord • Jour 2 • 21 mai 2026
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L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k}\right)$.

On considère :

  • les points $\mathrm A(4\,;\,2\,;\,2)$, $\mathrm B(5\,;\,-2\,;\,3)$ et $\mathrm C(1\,;\,1\,;\,1)$ ;
  • la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est donnée par $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}$$
  • le plan $\mathcal{P}$ contenant le point A et perpendiculaire à la droite $\Delta$.
  1. Vérifier que la droite $\Delta$ contient le point $\mathrm C(1\,;\,1\,;\,1)$ mais pas le point A.
    1. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x+y+2z-14=0$.
    2. Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ contient le point B mais pas le point C.
  3. On considère le point $\mathrm D(3\,;\,2\,;\,3)$.
    1. Démontrer que le point D est le projeté orthogonal du point C sur le plan $\mathcal{P}$.
    2. Justifier que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
    3. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$.
    4. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

      On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V=\dfrac{1}{3}\times B\times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur relative à cette base.
  4. On appelle H le projeté orthogonal du point A sur la droite $(BC)$.
    1. Vérifier que les coordonnées du point H sont $\left(\dfrac{73}{29}\,;\,\dfrac{-4}{29}\,;\,\dfrac{51}{29}\right)$.
    2. Démontrer que l'aire du triangle ABC est $\dfrac{3\sqrt{22}}{2}$.
    3. En déduire la distance du point D au plan $(ABC)$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Amérique du Nord 21 mai 2026 J2

  1. Substitution dans la représentation paramétrique. Pour $t=0$, on obtient $(x\,;\,y\,;\,z)=(1\,;\,1\,;\,1)$, donc $C \in \Delta$. Le point A appartiendrait à $\Delta$ s'il existait $t$ tel que $4=1+2t$, $2=1+t$ et $2=1+2t$. Or la première équation donne $t=\dfrac{3}{2}$ et la deuxième $t=1$ : le système est incompatible.
    $C \in \Delta$ et $A \notin \Delta$.
    1. Vecteur directeur de $\Delta$ = normale au plan ; passage par A. Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec n=(2\,;\,1\,;\,2)$, donc une équation de $\mathcal{P}$ s'écrit $2x+y+2z+d=0$. Comme $A(4\,;\,2\,;\,2) \in \mathcal{P}$ : $2\times 4+2+2\times 2+d=0$, soit $d=-14$.
      $$2x+y+2z-14=0$$
    2. Vérification des coordonnées dans l'équation du plan. $$2\times 5+(-2)+2\times 3-14=0 \qquad \text{donc } B \in \mathcal{P}$$ $$2\times 1+1+2\times 1-14=-9 \neq 0 \qquad \text{donc } C \notin \mathcal{P}$$
      $B \in \mathcal{P}$ et $C \notin \mathcal{P}$.
    1. Appartenance à $\mathcal{P}$ et orthogonalité de $(CD)$ au plan. $$\overrightarrow{CD}=(2\,;\,1\,;\,2)=\vec n$$ donc $(CD)$ est orthogonale à $\mathcal{P}$. De plus $2\times 3+2+2\times 3-14=0$, donc $D \in \mathcal{P}$.
      $D$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $\mathcal{P}$.
    2. A, B, D dans $\mathcal{P}$ et $C \notin \mathcal{P}$. Les points A, B et D appartiennent à $\mathcal{P}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}=(1\,;\,-4\,;\,1)$ et $\overrightarrow{AD}=(-1\,;\,0\,;\,1)$ ne sont pas colinéaires, donc A, B, D définissent le plan $\mathcal{P}$. Or $C \notin \mathcal{P}$.
      Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
    3. Produit scalaire dans un repère orthonormé. $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=1\times(-1)+(-4)\times 0+1\times 1=0$$
      $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$$
    4. Triangle ABD rectangle en A ; hauteur $[CD]$. Comme $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$, le triangle ABD est rectangle en A. Son aire vaut $$\mathcal{A}=\dfrac{\mathrm{AB}\times\mathrm{AD}}{2}=\dfrac{\sqrt{18}\times\sqrt{2}}{2}=3.$$ La hauteur relative à la base ABD est $\mathrm{CD}=\sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}}=3$, donc $$V=\dfrac{1}{3}\times 3 \times 3=3.$$
      $$V_{ABCD}=3$$
    1. Orthogonalité $\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{BC}$ et colinéarité $\overrightarrow{BH}\parallel\overrightarrow{BC}$. Soit $\mathrm H\left(\dfrac{73}{29}\,;\,\dfrac{-4}{29}\,;\,\dfrac{51}{29}\right)$. On a $\overrightarrow{BC}=(-4\,;\,3\,;\,-2)$ et $$\overrightarrow{AH}=\left(-\dfrac{43}{29}\,;\,-\dfrac{62}{29}\,;\,-\dfrac{7}{29}\right).$$ Alors $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ et $\overrightarrow{BH}=\dfrac{18}{29}\overrightarrow{BC}$, donc H est bien le projeté orthogonal de A sur $(BC)$.
      $\mathrm H\left(\dfrac{73}{29}\,;\,\dfrac{-4}{29}\,;\,\dfrac{51}{29}\right)$
    2. Aire $=\dfrac{1}{2}\times\mathrm{BC}\times\mathrm{AH}$. $$\mathrm{AH}^{2}=\dfrac{198}{29} \qquad \mathrm{BC}^{2}=29$$ $$\mathcal{A}(ABC)=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{198}{29}}\times\sqrt{29}=\dfrac{\sqrt{198}}{2}=\dfrac{3\sqrt{22}}{2}$$
      $$\mathcal{A}(ABC)=\dfrac{3\sqrt{22}}{2}$$
    3. $V=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}(ABC)\times d(D,(ABC))$. Avec $V=3$ : $$3=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3\sqrt{22}}{2}\times h \qquad \text{donc} \qquad h=\dfrac{6}{\sqrt{22}}=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}.$$
      $$d(D,(ABC))=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$$

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