Exercice 2

Partie A

1. Équation $f(x)=x$ ; factorisation puis équivalence. $$f(x)=x \iff \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^{2}}}=x \iff x\left(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}-1\right)=0$$ $$\iff x=0 \quad \text{ou} \quad 2=\sqrt{1+x^{2}}$$ L'égalité $2=\sqrt{1+x^{2}}$ donne $4=1+x^{2}$, soit $x^{2}=3$, donc $x=\sqrt{3}$ ou $x=-\sqrt{3}$.
   $$S=\{-\sqrt{3}\,;\,0\,;\,\sqrt{3}\}$$
2. 1. Quotient : dérivée de $\sqrt{1+x^{2}}$ égale à $\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$. $$f'(x)=\dfrac{2\sqrt{1+x^{2}}-2x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}}=\dfrac{\dfrac{2(1+x^{2})-2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}}=\dfrac{2}{(1+x^{2})\sqrt{1+x^{2}}}$$
      $$f'(x)=\dfrac{2}{(1+x^{2})\sqrt{1+x^{2}}}$$
   2. Signe de $f'$ : numérateur et dénominateur strictement positifs. Pour tout réel $x$, $1+x^{2}>0$ et $\sqrt{1+x^{2}}>0$, donc $f'(x)>0$.
      $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Partie B

1. Récurrence ; croissance de $f$ et $f(\sqrt{3})=\sqrt{3}$. Initialisation. $u_0=1$ et $u_1=f(1)=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}<\sqrt{3}$, donc $1 \leqslant u_0 \leqslant u_1 < \sqrt{3}$.
   
   Hérédité. On suppose $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < \sqrt{3}$. Comme $f$ est strictement croissante : $$f(1) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) < f(\sqrt{3}).$$ Or $f(1)=\sqrt{2}>1$, $f(u_n)=u_{n+1}$, $f(u_{n+1})=u_{n+2}$ et $f(\sqrt{3})=\sqrt{3}$, d'où $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} < \sqrt{3}$.
   
   Conclusion. La propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.
   Pour tout $n$ : $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < \sqrt{3}$.
2. Théorème de la convergence monotone puis point fixe. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\sqrt{3}$, donc convergente d'après le théorème de la convergence monotone. Soit $\ell$ sa limite : $1 \leqslant \ell \leqslant \sqrt{3}$. Par continuité de $f$, $\ell=f(\ell)$, donc $\ell$ est solution de $f(x)=x$. La seule solution dans $[1\,;\,\sqrt{3}]$ est $\sqrt{3}$.
   $$\lim_{n\to+\infty} u_n=\sqrt{3}$$
3. 1. Calcul de $v_0$ et simplification de $v_{n+1}$. $$v_0=\dfrac{u_0^{2}}{3-u_0^{2}}=\dfrac{1}{2}$$ $$v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}^{2}}{3-u_{n+1}^{2}}=\dfrac{\dfrac{4u_n^{2}}{1+u_n^{2}}}{3-\dfrac{4u_n^{2}}{1+u_n^{2}}}=\dfrac{4u_n^{2}}{3-u_n^{2}}=4v_n$$
      $(v_n)$ géométrique de raison $4$ et de premier terme $\dfrac{1}{2}$.
   2. Terme général d'une suite géométrique, puis inversion. $$v_n=\dfrac{1}{2}\times 4^{n}$$ De $v_n=\dfrac{u_n^{2}}{3-u_n^{2}}$, on tire $u_n^{2}=\dfrac{3v_n}{1+v_n}$. Comme $u_n>0$ : $$u_n=\sqrt{\dfrac{3v_n}{1+v_n}}=\sqrt{\dfrac{1,5 \times 4^{n}}{1+0,5 \times 4^{n}}}$$
      $$v_n=\dfrac{4^{n}}{2} \qquad u_n=\sqrt{\dfrac{1,5 \times 4^{n}}{1+0,5 \times 4^{n}}}$$
   3. Factorisation par $4^{n}$ ; continuité de la racine carrée. $$u_n=\sqrt{\dfrac{1,5}{\frac{1}{4^{n}}+0,5}}$$ Comme $4>1$, $\dfrac{1}{4^{n}}\to 0$, donc $u_n\to\sqrt{\dfrac{1,5}{0,5}}=\sqrt{3}$.
      $$\lim_{n\to+\infty} u_n=\sqrt{3}$$

Partie C

1. Initialisation $u=u_0=1$ ; accumulation de $u^{2}$ puis récurrence.

   from math import *
   
   def termes(p):
       u = 1
       S = 0
       L = []
       for i in range(p):
           S = S + u**2
           u = 2*u / sqrt(1 + u**2)
           L.append(S)
       return L

2. Somme de $n$ termes chacun compris entre $1$ et $3$. Pour tout $k$, $1 \leqslant u_k \leqslant \sqrt{3}$ implique $1 \leqslant u_k^{2} \leqslant 3$. En sommant $n$ termes :
   Pour tout $n \geqslant 1$ : $n \leqslant S_n \leqslant 3n$.
3. Comparaison puis théorème des gendarmes. Comme $S_n \geqslant n$ et $n\to+\infty$, on a $S_n\to+\infty$ par comparaison. De plus $\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{S_n}{n^{2}} \leqslant \dfrac{3}{n}$ et les deux bornes tendent vers $0$, donc $\dfrac{S_n}{n^{2}}\to 0$ d'après le théorème des gendarmes.
   $$\lim_{n\to+\infty} S_n=+\infty \qquad \lim_{n\to+\infty} \dfrac{S_n}{n^{2}}=0$$