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Exercice 1

Amérique du Nord • Jour 2 • 21 mai 2026
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Un supermarché dispose d'un stock de tomates provenant de deux fournisseurs A et B.

Il a été constaté que :

  • $91\,\%$ du stock de tomates est commercialisable ;
  • $60\,\%$ du stock de tomates provient du fournisseur A ;
  • parmi les tomates provenant du fournisseur A, la proportion de tomates commercialisables est de $95\,\%$.

On choisit au hasard une tomate dans le stock. On désigne par :

  • $A$ l'évènement « La tomate provient du fournisseur A » ;
  • $B$ l'évènement « La tomate provient du fournisseur B » ;
  • $C$ l'évènement « La tomate est commercialisable ».

Pour un évènement quelconque $E$, on note $P(E)$ la probabilité de $E$.

Partie A

  1. Recopier l'arbre ci-dessous en complétant les pointillés.
    Arbre de probabilités
    1. Déterminer la probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur A.
    2. Démontrer que $P_B(C) = 0{,}85$.
    3. La tomate choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois moins de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ?

Partie B

On rappelle que $9\,\%$ des tomates du stock ne sont pas commercialisables.

  1. On prend $15$ tomates dans le stock au hasard et de manière indépendante. On considère que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

    On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $15$ tomates.
    1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.
    2. Déterminer la probabilité qu'exactement deux tomates soient non commercialisables.
      On donnera la valeur arrondie au millième.
    3. Déterminer la probabilité qu'au plus deux tomates soient non commercialisables.
      On donnera la valeur arrondie au millième.
  2. On constitue désormais un échantillon de $n$ tomates, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel non nul.

    On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et $F_n$ la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $n$ tomates. On a donc $F_n = \dfrac{X_n}{n}$.

    On admet que la variable aléatoire $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}09$.
    1. Calculer l'espérance $E(F_n)$ et exprimer la variance $V(F_n)$ en fonction de $n$.
    2. Démontrer que $P(0{,}04 < F_n < 0{,}14) \geqslant 1 - \dfrac{32{,}76}{n}$.
    3. Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de $500$ tomates. Il s'aperçoit que $55$ tomates ne sont pas commercialisables.

      Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? Justifier la réponse.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Somme de variables aléatoires
Probabilités Conditionnelles
Loi des grands nombres
Loi binomiale

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Amérique du Nord 21 mai 2026 J2

Partie A

  1. Complémentarité et lecture des données de l'énoncé. On complète l'arbre pondéré :
    • $P(A)=0,60$ et $P(B)=1-P(A)=0,40$ ;
    • $P_A(C)=0,95$ et $P_A(\overline{C})=1-0,95=0,05$ ;
    • les probabilités $P_B(C)$ et $P_B(\overline{C})$ restent à déterminer (question 2.b).
    1. Règle de multiplication (probabilités conditionnelles). $$P(A \cap C)=P(A)\times P_A(C)=0,60 \times 0,95$$
      $$P(A \cap C)=0,57$$
    2. Formule des probabilités totales ; $P(C)=0,91$. D'après la formule des probabilités totales : $$P(C)=P(A \cap C)+P(B \cap C)=P(A \cap C)+P(B)\times P_B(C)$$ $$0,91=0,57+0,40 \times P_B(C)$$ $$0,34=0,40 \times P_B(C) \qquad \text{donc} \qquad P_B(C)=\dfrac{0,34}{0,40}$$
      $$P_B(C)=0,85$$
    3. Formule des probabilités conditionnelles. On compare $P_{\overline{C}}(A)$ et $P_{\overline{C}}(B)$. $$P_{\overline{C}}(A)=\dfrac{P(A \cap \overline{C})}{P(\overline{C})}=\dfrac{0,60 \times 0,05}{1-0,91}=\dfrac{0,03}{0,09}=\dfrac{1}{3}$$ $$P_{\overline{C}}(B)=\dfrac{P(B \cap \overline{C})}{P(\overline{C})}=\dfrac{0,40 \times (1-0,85)}{0,09}=\dfrac{0,06}{0,09}=\dfrac{2}{3}$$ Ainsi $P_{\overline{C}}(A)=\dfrac{1}{2}\,P_{\overline{C}}(B)$.
      Oui, le responsable a raison.

Partie B

    1. Schéma de Bernoulli : 15 tirages indépendants, succès = non commercialisable.
      $$X \sim \mathcal{B}(15\,;\,0,09)$$
    2. Formule de la loi binomiale ; arrondi au millième. $$P(X=2)=\binom{15}{2}\times 0,09^{2}\times 0,91^{13}$$
      $$P(X=2) \approx 0,250$$
    3. Somme $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$ à la calculatrice.
      $$P(X \leqslant 2) \approx 0,853$$
    1. Linéarité de l'espérance et $V(aX)=a^{2}V(X)$. Comme $X_n \sim \mathcal{B}(n\,;\,0,09)$, on a $E(X_n)=0,09n$ et $V(X_n)=0,09 \times 0,91 \times n=0,0819n$. Or $F_n=\dfrac{X_n}{n}$, donc : $$E(F_n)=\dfrac{1}{n}E(X_n)=0,09 \qquad V(F_n)=\dfrac{V(X_n)}{n^{2}}=\dfrac{0,0819}{n}$$
      $$E(F_n)=0,09 \qquad V(F_n)=\dfrac{0,0819}{n}$$
    2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=0,05$. $$0,04 < F_n < 0,14 \iff \bigl|F_n-0,09\bigr| < 0,05$$ donc $$P(0,04 < F_n < 0,14)=1-P\bigl(|F_n-0,09| \geqslant 0,05\bigr).$$ D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $$P\bigl(|F_n-0,09| \geqslant 0,05\bigr) \leqslant \dfrac{V(F_n)}{0,05^{2}}=\dfrac{0,0819/n}{0,0025}=\dfrac{32,76}{n}.$$ En passant à l'événement contraire, on obtient l'inégalité demandée.
      $$P(0,04 < F_n < 0,14) \geqslant 1-\dfrac{32,76}{n}$$
    3. Fréquence observée et minoration pour $n=500$. Pour $n=500$, la fréquence observée est $F=\dfrac{55}{500}=0,11$, et $0,04 < 0,11 < 0,14$. De plus $1-\dfrac{32,76}{500}=0,93448$, donc $$P(0,04 < F_{500} < 0,14) \geqslant 0,93448.$$ Il y a plus de $93\,\%$ de chances que la fréquence soit dans $]0,04\,;\,0,14[$.
      Oui, le résultat est conforme à ce qu'on pouvait attendre.

Amérique du Nord 21 mai 2026 J2