3

Exercice 3

Amérique du Nord • Jour 1 • 20 mai 2026
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Dans cet exercice l'unité est le centimètre.

On considère une pyramide à base carrée SABCD comme dans la figure ci-dessous.

Pyramide SABCD

Dans cette figure :

  • $AB = BC = CD = DA = OS = 2$~cm ;
  • $I$ est le milieu de $[CD]$, $J$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[OS]$.

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OJ}\,;\,\overrightarrow{OK}\right)$.

On admet que $\mathrm B(-1\,;\,1\,;\,0)$, $\mathrm C(1\,;\,1\,;\,0)$, et $\mathrm S(0\,;\,0\,;\,2)$.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

  1. Donner les coordonnées des points A et D.
  2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{SB}$.
  3. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BSC}$ arrondie au dixième de degré près.

Partie B

On se propose dans cette partie de déterminer la distance du point O au plan $(SBC)$.

  1. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 1\\ \end{pmatrix}$.
    1. Justifier que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(SBC)$.
    2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(SBC)$ est $\quad 2y+z-2=0$.
  2. On note H le projeté orthogonal du point O sur le plan $(SBC)$.
    1. a. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(OH)$ est : $$\begin{cases} x =0\\ y =2t\\ z =t\\ \end{cases}\text{ avec } t \in \mathbb{R}.$$
    2. Calculer les coordonnées du point H.
    3. En déduire que la distance du point O au plan $(SBC)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$~cm.

Partie C

On se propose ici de retrouver le résultat de la partie B par une autre méthode.

  1. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par : $$V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$$
    1. Calculer le volume de la pyramide SABCD.
    2. En déduire que le volume de la pyramide OCBS est égal à $\dfrac{2}{3}$~cm$^3$.
  2. Déterminer l'aire du triangle SBC.
  3. Déduire des questions précédentes que la distance du point O au plan $(SBC)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$~cm.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 2
Géométrie dans l'espace: partie 1

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Amérique du Nord 20 mai 2026 J1

Dans cet exercice l'unité est le centimètre.

Partie A

  1. Lecture des coordonnées dans le repère orthonormé. La base est un carré de centre O ; avec $\mathrm B(-1\,;\,1\,;\,0)$ et $\mathrm C(1\,;\,1\,;\,0)$, on obtient
    $\mathrm A(-1\,;\,-1\,;\,0)$ et $\mathrm D(1\,;\,-1\,;\,0)$
  2. Produit scalaire dans un repère orthonormé. $$\overrightarrow{SC}=(1\,;\,1\,;\,-2),\qquad \overrightarrow{SB}=(-1\,;\,1\,;\,-2).$$ $$\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{SB}=1\times(-1)+1\times 1+(-2)\times(-2)=-1+1+4=4.$$
    $$\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{SB}=4$$
  3. Formule $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta$. $$\|\overrightarrow{SC}\|=\|\overrightarrow{SB}\|=\sqrt{6},$$ donc $$\cos(\widehat{BSC})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3},$$ d'où $$\widehat{BSC}=\arccos\!\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx 48{,}2^{\circ}.$$
    $\widehat{BSC}\approx 48{,}2^{\circ}$

Partie B

    1. Orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan. $$\vec n\cdot\overrightarrow{SB}=0\times(-1)+2\times 1+1\times(-2)=0,$$ $$\vec n\cdot\overrightarrow{SC}=0\times 1+2\times 1+1\times(-2)=0.$$ Comme $\overrightarrow{SB}$ et $\overrightarrow{SC}$ ne sont pas colinéaires, $\vec n$ est normal au plan $(SBC)$.
      $\vec n$ est normal au plan $(SBC)$.
    2. Équation cartésienne : $\vec n\cdot\overrightarrow{OM}+d=0$. Une équation est de la forme $2y+z+d=0$. Comme $S(0\,;\,0\,;\,2)$ appartient au plan : $$2+d=0\iff d=-2.$$
      $$2y+z-2=0$$
    1. $(OH)$ est orthogonale au plan, donc dirigée par $\vec n$. La droite passe par $O(0\,;\,0\,;\,0)$ et admet $\vec n=(0\,;\,2\,;\,1)$ comme vecteur directeur : $$\begin{cases} x=0\\ y=2t\\ z=t\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R}).$$
      La représentation paramétrique de l'énoncé est justifiée.
    2. Intersection de $(OH)$ avec le plan $(SBC)$. On injecte dans $2y+z-2=0$ : $4t+t-2=0\iff t=\dfrac{2}{5}$.
      $\mathrm H\left(0\,;\,\dfrac{4}{5}\,;\,\dfrac{2}{5}\right)$
    3. Distance $OH=\|\overrightarrow{OH}\|$. $$OH=\sqrt{\left(\dfrac{4}{5}\right)^2+\left(\dfrac{2}{5}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{20}{25}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$$
      Distance $=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$~cm

Partie C

    1. Volume d'une pyramide : $\dfrac{1}{3}\times$ aire de la base $\times$ hauteur. Base carrée d'aire $2^2=4$, hauteur $OS=2$ : $$V_{SABCD}=\dfrac{1}{3}\times 4\times 2=\dfrac{8}{3}.$$
      $$V_{SABCD}=\dfrac{8}{3}$$~cm$^3$
    2. O centre du carré : aire de $OCB$ égale au quart de l'aire de $ABCD$. Même hauteur $OS$, donc $$V_{OCBS}=\dfrac{1}{4}V_{SABCD}=\dfrac{2}{3}.$$
      $$V_{OCBS}=\dfrac{2}{3}$$~cm$^3$
  2. Triangle isocèle ; hauteur issue de S via le milieu J de $[BC]$. $$SB=SC=\sqrt{6},\quad BJ=1.$$ Par Pythagore dans le triangle rectangle $JSB$ : $SJ=\sqrt{6-1}=\sqrt{5}$. $$\mathcal A(SBC)=\dfrac{BC\times SJ}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}.$$
    $\mathcal A(SBC)=\sqrt{5}$~cm$^2$
  3. Volume avec base $SBC$ et hauteur $OH$. $$V_{OCBS}=\dfrac{1}{3}\times\sqrt{5}\times OH=\dfrac{2}{3},$$ d'où $$OH=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$$
    Distance $=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$~cm
    On retrouve le résultat de la partie B.

Amérique du Nord 20 mai 2026 J1