2

Exercice 2

Amérique du Nord • Jour 1 • 20 mai 2026
Connectez-vous pour suivre vos progrès

La perche-soleil est une espèce de poisson envahissante. Un plan de lutte contre la prolifération de cette espèce est mis en place et on étudie dans cet exercice deux modèles d'évolution de la population de perches-soleil dans un étang naturel. On estime que, dans cet étang, le nombre de perches-soleil s'élève à $4000$ individus au 1er janvier 2025.

Partie A : étude d'un modèle discret

Dans cette partie, on modélise le nombre de perches-soleil dans l'étang par une suite $(u_n)$.

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ désigne le nombre de perches-soleil, exprimé en millier, dans l'étang au 1er janvier de l'année $2025+n$.

La suite $(u_n)$ est définie par :

  • $u_{0}=4$ ;
  • pour tout entier naturel $n$ : $\quad u_{n+1}=4-\dfrac{4}{u_{n}}$.

On admet que cette suite est bien définie et qu'en particulier pour tout entier $n$, $\quad u_{n}>0$.

  1. Calculer le nombre de perches-soleil au 1er janvier 2026 donné par ce modèle.
  2. On note $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par $\quad h(x)=4-\dfrac{4}{x}$.
    1. Justifier que la fonction $h$ est croissante sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
    2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :
      $$2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant 4$$
    3. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
    4. Justifier que $\ell = 2$.
    5. Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l'espèce envahissante ?
  3. On considère le script Python ci-dessous.
    1. Soit $s$ un réel appartenant à l'intervalle $]2\,;\,4[$.

      Recopier et compléter ce script de sorte qu'il renvoie, après exécution, le plus petit entier $n$ tel que $u_{n}<s$. 
      def population(s) :
    u=4
    n=0
    while... :
        u=...
        n=...
    return n
    2. Quelle valeur renvoie la commande population(2.2) ?

      Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B : étude d'un modèle continu

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, à partir du 1er janvier 2025. L'évolution du nombre de perches-soleil, exprimé en millier, est modélisée par la fonction $p$ telle que :

  • la fonction $p$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ ;
  • $p(0)=4$ ;
  • la fonction $p$ est solution de l'équation différentielle $(E) \quad y'+y=2$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$.
  1. Donner l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
  2. En déduire que l'expression de la fonction $p$ sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ est $\quad p(t)=2\,\mathrm e^{-t}+2$.
  3. Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l'espèce envahissante ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles
Suites et Limites

Notions détaillées

Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Algorithme Python

Solution écrite

Amérique du Nord 20 mai 2026 J1

Partie A — Modèle discret

  1. Application de la relation de récurrence. $$u_1=4-\dfrac{4}{u_0}=4-\dfrac{4}{4}=3.$$
    Le modèle prévoit $3000$ perches-soleil au 1er janvier 2026.
    1. Étude du signe de $h'$. La fonction $h$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $$h'(x)=\dfrac{4}{x^2}>0$$ pour tout $x>0$. Donc $h$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
      $h$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
    2. Démonstration par récurrence. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $P_n$ : « $2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4$ ».

      Initialisation : $u_0=4$ et $u_1=3$, donc $2\leqslant u_1\leqslant u_0\leqslant 4$. $P_0$ est vraie.

      Hérédité : si $2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4$, la croissance de $h$ donne $$h(2)\leqslant h(u_{n+1})\leqslant h(u_n)\leqslant h(4),$$ soit $$2\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 3\leqslant 4.$$ Ainsi $P_{n+1}$ est vraie.

      Par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4.$$
    3. Suite décroissante et minorée. D'après $P_n$, la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $2$, donc convergente vers une limite $\ell\geqslant 2$.
      $(u_n)$ est convergente.
    4. Théorème du point fixe : $\ell=h(\ell)$. La fonction $h$ est continue sur $]0\,;\,+\infty[$ et $(u_n)$ converge, donc $\ell=h(\ell)$, soit $$\ell=4-\dfrac{4}{\ell}\iff \ell^2-4\ell+4=0\iff (\ell-2)^2=0\iff \ell=2.$$
      $$\ell=2$$
    5. Interprétation de la limite. La population se stabilise à $2000$ individus, et non à $0$.
      Non, le modèle ne prévoit pas l'élimination de l'espèce.
    1. Boucle while tant que $u_n\geqslant s$. 
      def population(s):
    u = 4
    n = 0
    while u >= s:
        u = 4 - 4/u
        n = n + 1
    return n
    2. Calcul itératif des termes de la suite. On a $u_9=2{,}2$ et $u_{10}\approx 2{,}182<2{,}2$, donc la commande renvoie $10$.
      $$\texttt{population(2.2)}=10$$
      Au 1er janvier $2035$ ($2025+10$), le modèle prévoit moins de $2200$ perches-soleil.

Partie B — Modèle continu

  1. Équation différentielle linéaire $y'=ay+b$ avec $a=-1$, $b=2$. L'équation $(E)$ s'écrit $y'=-y+2$. Les solutions sont les fonctions $$y(t)=k\,\mathrm e^{-t}+2,\quad k\in\mathbb{R}.$$
    $$y(t)=k\,\mathrm e^{-t}+2 \quad (k\in\mathbb{R})$$
  2. Condition initiale $p(0)=4$. $$p(0)=4\iff k\,\mathrm e^{0}+2=4\iff k=2.$$
    $$p(t)=2\,\mathrm e^{-t}+2$$
  3. Limite de $p$ en $+\infty$. Comme $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\mathrm e^{-t}=0$, on a $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}p(t)=2$. Le modèle prévoit une stabilisation à $2000$ individus.
    Non, l'espèce n'est pas éliminée à long terme.

Amérique du Nord 20 mai 2026 J1