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Exercice 1

Amérique du Nord • Jour 1 • 20 mai 2026
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Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d'abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle propose également une option « Écoute hors-ligne » qu'on peut activer pour chaque type d'abonnement et qui permet de télécharger de la musique.

Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d'établir que :

  • $25\,\%$ des abonnés ont choisi l'abonnement « Étudiant » et $15\,\%$ ont choisi l'abonnement « Famille » ;
  • $45\,\%$ des abonnés « Étudiant » ont activé l'option « Écoute hors-ligne » ;
  • $30\,\%$ des abonnés « Classique » ont activé l'option « Écoute hors-ligne » ;
  • $12\,\%$ des abonnés ont choisi l'abonnement « Famille » et ont activé l'option « Écoute hors-ligne ».

On prélève au hasard le profil d'un abonné et on considère les évènements suivants :

  • $E$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Étudiant » ;
  • $C$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Classique » ;
  • $F$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Famille » ;
  • $H$ : l'abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ».

Partie A

  1. Recopier l'arbre de probabilités suivant, en complétant les pointillés :
    Arbre de probabilités
  2. Calculer la valeur exacte de $P(E \cap H)$.
  3. Démontrer que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0{,}4125$.
  4. Un abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ». Déterminer la probabilité qu'il ait choisi l'abonnement « Étudiant ».
    On arrondira le résultat au millième.

Partie B

On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante. On considère qu'il y a suffisamment d'abonnés pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0{,}4125$.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'abonnés ayant activé l'option « Écoute hors-ligne ».

  1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
  2. Calculer la probabilité qu'aucun de ces huit abonnés n'ait activé l'option « Écoute hors-ligne ».
    On arrondira le résultat au millième.
  3. Dans cette question, $n$ est un entier naturel non nul.

    On s'intéresse à un échantillon de $n$ abonnés, qu'on assimile à un tirage avec remise.

    On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un abonné de cet échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne ».
    1. Démontrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $\quad q_{n}=1-0{,}5875^{n}$.
    2. Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins un abonné de l'échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne » soit supérieure ou égale à $99{,}9\,\%$.

Partie C

La plateforme propose les tarifs mensuels suivants :

  • Abonnement « Étudiant » : $5$~€ par mois ;
  • Abonnement « Classique » : $10$~€ par mois ;
  • Abonnement « Famille » : $16$~€ par mois ;
  • Option « Écoute hors-ligne » : $2$~€ de plus par mois, quel que soit l'abonnement choisi.

On note $Y$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné.

  1. Donner les six valeurs possibles prises par la variable aléatoire $Y$.
  2. Dresser le tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$.
  3. Démontrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$ vaut $10{,}475$ et interpréter ce résultat dans le contexte.
  4. À l'aide de la calculatrice, donner la variance de la variable aléatoire $Y$, arrondie au centième.
  5. Une plateforme vidéo propose les mêmes types d'abonnements. On note $Z$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo.

    On admet que l'espérance de la variable aléatoire $Z$ vaut $9$ et son écart-type $2$.
    1. Calculer la variance de la variable aléatoire $Z$.
    2. Un responsable affirme que, si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins $50\,\%$ de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre $6$ et $12$ euros.

      Justifier cette affirmation.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Somme de variables aléatoires
Probabilités Conditionnelles
Loi binomiale

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Amérique du Nord 20 mai 2026 J1

Partie A

  1. Complémentarité et définition des probabilités conditionnelles. Au premier niveau : $P(E)=0{,}25$, $P(F)=0{,}15$, donc $$P(C)=1-(0{,}25+0{,}15)=0{,}6.$$ Au second niveau :
    • $P_E(H)=0{,}45$, d'où $P_E(\overline{H})=0{,}55$ ;
    • $P_C(H)=0{,}30$, d'où $P_C(\overline{H})=0{,}70$ ;
    • $P(F\cap H)=0{,}12$, donc $P_F(H)=\dfrac{0{,}12}{0{,}15}=0{,}8$ et $P_F(\overline{H})=0{,}2$.
    Arbre complété avec $P(C)=0{,}6$ et $P_F(H)=0{,}8$.
  2. Définition des probabilités conditionnelles. $$P(E \cap H)=P(E)\times P_E(H)=0{,}25 \times 0{,}45=0{,}1125$$
    $$P(E \cap H)=0{,}1125$$
  3. Formule des probabilités totales ($E$, $C$, $F$ partitionnent l'univers). $$P(H)=P(E\cap H)+P(C\cap H)+P(F\cap H)$$ $$P(H)=0{,}1125 + 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}12=0{,}1125+0{,}18+0{,}12=0{,}4125$$
    La probabilité qu'un abonné ait activé l'option est bien $0{,}4125$.
  4. Formule de Bayes. $$P_H(E)=\dfrac{P(E\cap H)}{P(H)}=\dfrac{0{,}1125}{0{,}4125}=\dfrac{3}{11}\approx 0{,}273$$
    $$P_H(E)=\dfrac{3}{11}\approx 0{,}273$$
    Arrondi au millième.

Partie B

  1. Huit tirages indépendants assimilés à un tirage avec remise. L'énoncé admet que $X$ suit une loi binomiale. Le succès « activer l'option » a pour probabilité $p=0{,}4125$, et $X$ compte le nombre de succès sur $n=8$ répétitions.
    $$X \sim \mathcal{B}(8\,;\,0{,}4125)$$
  2. Formule de la loi binomiale pour $P(X=0)$. $$P(X=0)=\binom{8}{0}(0{,}4125)^0(1-0{,}4125)^8=0{,}5875^8\approx 0{,}014$$
    $$P(X=0)\approx 0{,}014$$
    Arrondi au millième.
    1. Événement contraire et loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}4125$. Soit $X_n\sim\mathcal{B}(n\,;\,0{,}4125)$. Alors $$q_n=P(X_n\geqslant 1)=1-P(X_n=0)=1-0{,}5875^{n}.$$
      Pour tout entier $n\geqslant 1$, $$q_n=1-0{,}5875^{n}.$$
    2. Résolution de $q_n\geqslant 0{,}999$ à l'aide du logarithme népérien. $$1-0{,}5875^{n}\geqslant 0{,}999 \iff 0{,}5875^{n}\leqslant 0{,}001$$ Comme $\ln$ est croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ et que $\ln(0{,}5875)<0$ : $$n\geqslant \dfrac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}5875)}\approx 12{,}9875.$$ Or $0{,}5875^{13}\approx 0{,}0010$. Le plus petit entier $n$ convenable est donc $13$.
      $$n=13$$

Partie C

  1. Tarif de base selon l'abonnement, plus $2$~€ si l'option est activée. Les six montants possibles sont $5$ (Étudiant sans option), $7$ (Étudiant avec option), $10$, $12$, $16$ et $18$~€.
    $$Y \in \{5\,;\,7\,;\,10\,;\,12\,;\,16\,;\,18\}$$
  2. Probabilités issues de l'arbre ; calcul de $P(F\cap\overline{H})$. $$P(F\cap\overline{H})=P(F)-P(F\cap H)=0{,}15-0{,}12=0{,}03.$$
    $y_i$5710121618
    évènement$E\cap\overline{H}$$E\cap H$$C\cap\overline{H}$$C\cap H$$F\cap\overline{H}$$F\cap H$
    $P(Y=y_i)$0{,}13750{,}11250{,}420{,}180{,}030{,}12
  3. Définition de l'espérance $E(Y)=\sum y_i P(Y=y_i)$. $$E(Y)=5\times 0{,}1375+7\times 0{,}1125+10\times 0{,}42+12\times 0{,}18+16\times 0{,}03+18\times 0{,}12=10{,}475$$
    $$E(Y)=10{,}475$$
    Sur un grand nombre d'abonnés, le tarif moyen mensuel est de $10{,}475$~€.
  4. Variance à la calculatrice : $V(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$.
    $$V(Y)\approx 13{,}70$$
    Arrondi au centième.
    1. $V(Z)=(\sigma(Z))^2$. $$V(Z)=2^2=4$$
      $$V(Z)=4$$
    2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. On a $E(Z)=9$, milieu de $]6\,;\,12[$, donc $$P(6<Z<12)=P(|Z-9|<3)=1-P(|Z-9|\geqslant 3).$$ D'après Bienaymé-Tchebychev, pour $t=3$ : $$P(|Z-9|\geqslant 3)\leqslant \dfrac{V(Z)}{3^2}=\dfrac{4}{9}.$$ D'où $$P(6<Z<12)\geqslant 1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}>0{,}5.$$
      $$P(6<Z<12)\geqslant \dfrac{5}{9}>0{,}5$$
      L'affirmation du responsable est justifiée.

Amérique du Nord 20 mai 2026 J1