Logique et raisonnements

Proposition

Une affirmation qui peut être vraie ou fausse.

Exemple 1 : "Il pleut" (vraie ou fausse selon la situation)

Exemple 2 : "2 + 3 = 5" (toujours vraie)

Négation d'une proposition

Soit P une proposition. Sa négation notée "non P" est vraie quand P est fausse et fausse quand P est vraie.

Exemple 1 : La négation de "$x^2\leq 4$" est "$x^2>4$"

Exemple 2 : La négation de "Tous les chats sont noirs" est "Il existe au moins un chat qui n'est pas noir"

Et/Ou

Soit A et B deux propositions

∧

La proposition "A et B" est vraie quand les 2 propositions A et B sont vraies et fausse quand au moins 1 des 2 est fausse.

Exemple : "x > 0 et x < 5" est vraie seulement si x ∈ ]0,5[

∨

La proposition "A ou B" est vraie quand au moins 1 des 2 propositions est vraie et fausse quand les 2 sont fausses.

Exemple : "x ≤ 2 ou x ≥ 8" est vraie si x ∈ ]-∞,2] ∪ [8,+∞[

Implication

Soit A et B deux propositions. A$\Rightarrow$B se lit "A implique B". Cette implication est vraie dans la situation suivante: on suppose que A est vraie et on réussit à prouver que B est vraie.

Exemple : "Si x = 2, alors x² = 4" (A$\Rightarrow$B où A: x=2 et B: x²=4)

Relations logiques

Réciproque

La réciproque de A$\Rightarrow$B est :

B$\Rightarrow$A

Exemple : Si "x=2 ⇒ x²=4", alors la réciproque est "x²=4 ⇒ x=2" (fausse car x=-2 aussi)

Contraposée

La contraposée de A$\Rightarrow$B est :

non B$\Rightarrow$non A

Exemple : Si "x=2 ⇒ x²=4", alors "x²≠4 ⇒ x≠2" (vraie)

Équivalence

A$\Leftrightarrow$B est vérifiée lorsque :

A$\Rightarrow$B et B$\Rightarrow$A

Exemple : "x²=4 ⇔ |x|=2" (les deux implications sont vraies)

Quantificateurs

∀

Universel

"pour tout, quel que soit..."

Exemple : ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0
"Pour tout nombre réel x, x² est positif ou nul"

∃

D'existence

"il existe..."

Exemple : ∃x ∈ ℝ, x² = 9
"Il existe au moins un nombre réel x tel que x² = 9" (x = 3 ou x = -3)

Types de raisonnement

1

Disjonction de cas

On sépare les nombres réels en positif/négatifs ou les nombres entiers en pairs/impairs

2

Contraposée

On démontre non B$\Rightarrow$non A plutôt que A$\Rightarrow$B

3

Absurde

Pour prouver que A$\Rightarrow$B, on suppose que A est vraie et que B est fausse et on essaie d'aboutir à une contradiction.

4

Contre-exemple

On trouve un cas de figure qui ne marche pas

Démonstration par récurrence

Les étapes :

1

Propriété

On énonce la propriété P(n)

2

Initialisation

On démontre que P(0) est vraie

3

Hérédité

On suppose que P(n) est vraie pour un certain entier n et on prouve P(n+1)

4

Conclusion

Si l'Initialisation et l'Hérédité sont correctes, on peut conclure par l'axiome de récurrence que P(n) est vraie pour tout entier n

Résumé du cours

Vocabulaire de la logique et types de raisonnement

Réciproque

Contraposée

Équivalence

Universel

D'existence

Disjonction de cas

Contraposée

Absurde

Contre-exemple

Propriété

Initialisation

Hérédité

Conclusion