Quelle est la négation des propositions suivantes?

1. $n$ est un nombre entier impair
2. $x>-1$
3. $f$ est croissante sur $\R$
4. Tous les parallélogrammes sont des losanges
5. $x \in [-3;2]$
6. La carte tirée est un roi ou coeur

Dans chaque situation, P et Q sont deux propositions. Indiquer si les propositions formées avec ET/OU sont vraies ou fausses.

1. $P$: "$n$ est divisible par 4", $Q$: "$n$ est pair".
   Si $n=54$ alors "$P$ et $Q$" est:
2. $P$: "$x$ est un entier", $Q$: "$x$ est négatif".
   Si $x=3$ alors "$P$ ou $Q$" est:
3. $P$: "$x$ est un entier", $Q$: "$x$ est négatif".
   Si $x=3$ alors "$P$ ou $Q$" est:

Dans chaque situation, indiquer si A implique B, B implique A ou si A et B sont équivalentes.

1. $A$: "n est impair" et $B$: "n est premier"
2. $A$: "$|2x-1|\leq 4$" et $B$: "$-\frac{3}{2}\leq x \leq \frac{5}{2}$"
3. $A$: "$x^2=a^2$" et $B$: "$x=a$"
4. $A$: "n est divisible par 4" et $B$: "n est pair"

Ecrire chacun de ces 2 théorèmes sous forme d'implication puis énoncer leur contraposée.

1. Théorème de Pythagore
2. Théorème de Thalès

Prouver les 2 propositions suivantes par disjonction de cas.

1. Pour tout réel $x$, $x^2$ est positif.
2. Le produit de 2 entiers consécutif est pair.

Prouver les 2 propositions suivantes par contraposée.

1. Si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
2. Si $n$ est premier alors $n=2$ ou $n$ est impair.

Soit n un entier naturel non nul. Démontrer par l'absurde le résultat suivant:

Si $n$ n'est pas premier alors il admet un diviseur inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.

Utiliser un contre exemple pour identifier les propositions fausses ci-dessous.

1. Si $n$ est impair alors $n^2$ est impair.
2. Une suite qui n'est pas croissante est décroissante
3. Tout nombre premier est impair
4. La somme de 2 nombres rationnels est un nombre rationnel
5. La somme de 2 nombres premiers est un nombre premier

Le but de cet exercice est de montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

1. Raisonner par l'absurde et montrer que $\sqrt{2}$ s'écrit sous la forme $\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ que l'on précisera.
2. Soit $n$ un nombre entier, montrer que si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
3. En déduire que $p$ et $q$ sont pairs
4. Conclure

Le but de cet exercice est de montrer que $|x-1|\leq x^2-x+1$ pour tout nombre réel $x$.

1. Comment choisir $x$ pour réecrire cette inégalité sans valeur absolue?
2. Prouver que cette inégalité est vraie dans les 2 cas précédents
3. Conclure

Démontrer par récurrence l'égalité suivante.

Pour tout entier naturel $n$

$1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Démontrer par récurrence l'inégalité suivante:

pour tout entier naturel $n\geq 4$,  $2^n\geq n^2$.

Montrer que pour tout entier $n\geq 1$, $5^n-1$ est divisible par $4$.

Montrer que pour tout entier $n\geq 1$: $$1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\leq 2 -\dfrac{1}{n}$$

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^n$. Montrer que pour tout entier $n$: $$f'(x)=nx^{n-1}$$