Primitives et équations différentielles

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Résumé du cours

Maîtrisez les concepts essentiels de ce chapitre

Primitives et équations différentielles

Primitive d'une fonction $~f~$ sur un intervalle $~I$

$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ avec $F'=f$.

Équation différentielle $~y'=f$

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Résoudre l'équation différentielle $y'=f$ c'est trouver toutes les fonctions $F$ dérivables sur $I$ telles que $F'=f$. Cela revient à trouver les primitives de $f$ sur $I$.

Fonction	Primitive	Intervalle
$f(x)=a$	$F(x)=ax$	$\R$
$f(x)=x$	$F(x)=\dfrac{x^2}{2}$	$\R$
$f(x)=x^n$	$F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\R$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$	$F(x)=ln(x)$	$]0;~+\infin[$
$f(x)=\dfrac{1}{x^n}$	$F(x)=-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$	$\R \backslash \{0\}$
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$F(x)=2\sqrt{x}$	$]0;~+\infin[$
$f(x)=sin(x)$	$F(x)=-cos(x)$	$\R$
$f(x)=cos(x)$	$F(x)=sin(x)$	$\R$
$f(x)=e^x$	$F(x)=e^x$	$\R$

Fonction	Primitive	Intervalle
$f+g$	$F+G$	$D_f \cap D_g$
$kf$, $k\in \R$	$kF$	$D_f$

Fonction	Primitive	Intervalle
$u'.u^n$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	$D_u$
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}$	$D_u \cap u>0$
$\dfrac{u'}{u^2}$	$-\dfrac{1}{u}$	$D_u \cap u \not= 0$
$u'.e^u$	$e^u$	$D_u$
$\dfrac{u'}{u}$	$ln\|u\|$	$D_u \cap u \not= 0$
$u'.sin(u)$	$-cos(u)$	$D_u$
$u'.cos(u)$	$sin(u)$	$D_u$