Primitives et équations différentielles

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Résumé de cours

Primitives et équations différentielles

Primitives et équations différentielles

Primitive d'une fonction $~f~$ sur un intervalle $~I$
$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ avec $F'=f$.
Équation différentielle $~y'=f$
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Résoudre l'équation différentielle $y'=f$ c'est trouver toutes les fonctions $F$ dérivables sur $I$ telles que $F'=f$. Cela revient à trouver les primitives de $f$ sur $I$.
Primitives usuelles
Fonction Primitive Intervalle
$f(x)=a$ $F(x)=ax$ $\R$
$f(x)=x$ $F(x)=\dfrac{x^2}{2}$ $\R$
$f(x)=x^n$ $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ $\R$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$ $F(x)=ln(x)$ $]0;~+\infin[$
$f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ $F(x)=-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$ $\R \backslash \{0\}$
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ $F(x)=2\sqrt{x}$ $]0;~+\infin[$
$f(x)=sin(x)$ $F(x)=-cos(x)$ $\R$
$f(x)=cos(x)$ $F(x)=sin(x)$ $\R$
$f(x)=e^x$ $F(x)=e^x$ $\R$
Primitives et opérations
Fonction Primitive Intervalle
$f+g$ $F+G$ $D_f \cap D_g$
$kf$, $k\in \R$ $kF$ $D_f$
Primitives et composition
Fonction Primitive Intervalle
$u'.u^n$ $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ $D_u$
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ $2\sqrt{u}$ $D_u \cap u>0$
$\dfrac{u'}{u^2}$ $-\dfrac{1}{u}$ $D_u \cap u \not= 0$
$u'.e^u$ $e^u$ $D_u$
$\dfrac{u'}{u}$ $ln|u|$ $D_u \cap u \not= 0$
$u'.sin(u)$ $-cos(u)$ $D_u$
$u'.cos(u)$ $sin(u)$ $D_u$
Équation différentielle $~y'=ay$
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions: $$y(x)=Ce^{ax}~~~C\in \R$$
Équation différentielle $~y'=ay+b$
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont les fonctions: $$y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}~~~C\in \R$$
Équation différentielle $~y'=ay+f$
Les solutions de l'équation différentielle $(E)~~y'=ay+f$ sont les fonctions: $$y(x)=Ce^{ax}+\phi(x)~~~C\in \R$$ avec $\phi$ une solution particulière de $(E)$

Solution écrite

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