Fonctions logarithmes

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Résumé de cours

Fonctions logarithmes

Logarithmes

Défintion

La fonction réciproque de la fonction exponentielle $y=e^x$ s'appelle la fonction logarithme népèrien et est définie par: $$\begin{cases} x\mapsto ln(x) \newline ]0;~+\infin[ \to \R \end{cases}$$

Pour tout nombre $a>0$, la fonction logarithme népèrien de $a$ l'unique solution réelle de l'équation $e^x=a$

Lien entre fonctions exponentielles et logarithme népèrien
  1. Pour tout $x\in ]0;~+\infin[$, on a $e^{ln(x)}=x$
  2. Pour tout $x\in \R$, on a $ln(e^x)=x$
Proprietés du logarithme népèrien
  1. La fonction logarithme népèrien est strictement croissante sur $]0;~+\infin[$
  2. $\lim\limits_{x \to 0^+ }ln(x)=-\infin$
  3. $\lim\limits_{n \to +\infin }ln(x)=+\infin$
  4. $ln(1)=0$
  5. si $x>1$ alors $ln(x)>0$, si $ 0 < x < 1 $ alors $ln(x)<0$
Règles de calcul
  1. $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
  2. $ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b)$
  3. $ln(\frac{1}{a})=-ln(a)$
  4. $ln(a^n)=nln(a)$
Équations et inéquations logarithmiques

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs:

  1. $ln(a)=ln(b) \iff a=b$
  2. $ln(a) < ln(b) \iff a < b$
Limites et croissance comparée

Pour tout nombre entier $n$ strictement positif:

  1. $\lim\limits_{x \to 0^+ }x^{n}ln(x)=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x^n}=0$
  2. Pour $n=1$ on obtient: $\lim\limits_{x \to 0^+ }xln(x)=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x}=0$
Dérivée et logarithme

Soit $x$ un nombre réel strictement positif et $u$ une fonction à valeurs strictement positives.

  1. $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
  2. $(ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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