Fonctions logarithmes

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

Tous À faire Terminés
Intermediaire

Intermediaire

4 exercices

Calcul de dérivées avec le logarithme

Intermédiaire

Calculer les dérivées des fonctions suivantes après avoir déterminé leur intervalle de définition et dérivabilité.

  1. $f(x)=3(ln(x))^2$
  2. $g(x)=5(x+1)^2ln(x)$
  3. $h(x)=ln(x^2-5x-6)$
  4. $j(x)=ln(1+e^{-10x})$
  5. $k(x)=\dfrac{5x-ln(x)}{x^2+1}$

Résoudre des equations logarithmiques avec changement de variable

Intermédiaire Premium

Résoudre les équations suivantes après avoir effectué un changement de variable.

  1. $ln(x)^2+ln(x)-12=0$
  2. $-3e^x+e^{-x}+2=0$
  3. $4ln(x)^2-ln(\dfrac{1}{x})-3=0$
  4. $2e^{2x}-11e^x+12=0$

Suites et logarithmes

Intermédiaire Premium

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$, et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=e\times \sqrt{u_n}$$

  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$1\leq u_n \leq e^2$$.
  2. Démontrer que $(u_n)$ est croissante et en déduire qu'elle est convergente.
  3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $$v_n=ln(u_n)-2$$
    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$
    2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$v_n=-\frac{1}{2^{n-1}}$$
    3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis la limite de la suite $(u_n)$.

Étude d'une fonction avec logarithme

Intermédiaire Premium

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{ln(x)}{x}$

  1. Déterminer l'ensemble de définition $\cal{D}_f$ de $f$.
  2. Démontrer que la courbe admet une asymptote horizontale.
  3. Déterminer la limite de $f$ en $0$.
  4. Étudier les variation de $f$ sur $\cal{D}_f$

Résumé de cours

Fonctions logarithmes

Logarithmes

Défintion

La fonction réciproque de la fonction exponentielle $y=e^x$ s'appelle la fonction logarithme népèrien et est définie par: $$\begin{cases} x\mapsto ln(x) \newline ]0;~+\infin[ \to \R \end{cases}$$

Pour tout nombre $a>0$, la fonction logarithme népèrien de $a$ l'unique solution réelle de l'équation $e^x=a$

Lien entre fonctions exponentielles et logarithme népèrien
  1. Pour tout $x\in ]0;~+\infin[$, on a $e^{ln(x)}=x$
  2. Pour tout $x\in \R$, on a $ln(e^x)=x$
Proprietés du logarithme népèrien
  1. La fonction logarithme népèrien est strictement croissante sur $]0;~+\infin[$
  2. $\lim\limits_{x \to 0^+ }ln(x)=-\infin$
  3. $\lim\limits_{n \to +\infin }ln(x)=+\infin$
  4. $ln(1)=0$
  5. si $x>1$ alors $ln(x)>0$, si $ 0 < x < 1 $ alors $ln(x)<0$
Règles de calcul
  1. $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
  2. $ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b)$
  3. $ln(\frac{1}{a})=-ln(a)$
  4. $ln(a^n)=nln(a)$
Équations et inéquations logarithmiques

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs:

  1. $ln(a)=ln(b) \iff a=b$
  2. $ln(a) < ln(b) \iff a < b$
Limites et croissance comparée

Pour tout nombre entier $n$ strictement positif:

  1. $\lim\limits_{x \to 0^+ }x^{n}ln(x)=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x^n}=0$
  2. Pour $n=1$ on obtient: $\lim\limits_{x \to 0^+ }xln(x)=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x}=0$
Dérivée et logarithme

Soit $x$ un nombre réel strictement positif et $u$ une fonction à valeurs strictement positives.

  1. $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
  2. $(ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

Video