Fonctions logarithmes

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6 exercices

Appliquer la définition du logarithme néperien

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  1. Compléter les égalités suivantes:
    1. $e^{ln(5)}=$
    2. $ln(e^{-3})=$
    3. $exp(ln(x^2+1)=$
    4. $ln(\frac{1}{e})=$
  2. Résoudre dans $]0;~+\infin[$ l'équation $ln(x)=-2$
  3. Résoudre dans $\R$ l'équation $e^x=7$
  4. Résoudre dans $\R$ l'équation $e^{3x-5}=2$
  5. Résoudre dans $]-\infin;~1[$ l'équation $ln(-x+1)=5$

Simplifier avec les propriétés du logarithme

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  1. Montrer que $ln(2)+ln(4)+ln(8)+ln(16)=10ln(2)$
  2. Montrer que $ln(27)-ln(3)+ln(6)-ln(54)$ est un nombre entier.
  3. Montrer que $\frac{1}{4}ln(81)=ln(3)$
  4. Exprimer $ln(100)$ en fonction de $ln(2)$ et $ln(5)$
  5. Exprimer $ln(\sqrt(72))$ en fonction de $ln(2)$ et $ln(3)$

Résoudre avec le logarithme

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Résoudre les équations suivantes en précisant l'intervalle de résolution:

  1. $ln(2x+3)=-1$
  2. $ln(x-5)=ln(2x+7)$
  3. $ln(2x^2+4)=ln(-5x+1)$
  4. $2ln(x-3)=10$

Inéquations avec le logarithme

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Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes.

  1. $ln(x)<3$
  2. $2ln(x)-5>7$
  3. $e^{x}-8>12$
  4. $-3ln(2x-5)+9>7$

Résoudre des equations plus complexes avec le logarithme

Basique Premium

Résoudre dans $\R$ pour la variable $x$ et dans $\N$ pour la variable $n$ les équations ou inéquations suivantes.

  1. $2^n \geq 95$
  2. $x^9=124$
  3. $(\frac{3}{4})^n \leq \frac{1}{10}$
  4. $5x^7-4\leq 3$

Logarithme et limites

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Déterminer les limites suivantes:

  1. $\lim\limits_{x \to 0 }-2ln(x)+7x^2+1$
  2. $\lim\limits_{x \to +\infin}ln(\frac{x+1}{x})$
  3. $\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{ln(x)}{x}$
  4. $\lim\limits_{x \to +\infin} x-ln(x)$
  5. $\lim\limits_{x \to +\infin } \dfrac{ln(x)}{\sqrt{x}}$

Résumé de cours

Fonctions logarithmes

Logarithmes

Défintion

La fonction réciproque de la fonction exponentielle $y=e^x$ s'appelle la fonction logarithme népèrien et est définie par: $$\begin{cases} x\mapsto ln(x) \newline ]0;~+\infin[ \to \R \end{cases}$$

Pour tout nombre $a>0$, la fonction logarithme népèrien de $a$ l'unique solution réelle de l'équation $e^x=a$

Lien entre fonctions exponentielles et logarithme népèrien
  1. Pour tout $x\in ]0;~+\infin[$, on a $e^{ln(x)}=x$
  2. Pour tout $x\in \R$, on a $ln(e^x)=x$
Proprietés du logarithme népèrien
  1. La fonction logarithme népèrien est strictement croissante sur $]0;~+\infin[$
  2. $\lim\limits_{x \to 0^+ }ln(x)=-\infin$
  3. $\lim\limits_{n \to +\infin }ln(x)=+\infin$
  4. $ln(1)=0$
  5. si $x>1$ alors $ln(x)>0$, si $ 0 < x < 1 $ alors $ln(x)<0$
Règles de calcul
  1. $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
  2. $ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b)$
  3. $ln(\frac{1}{a})=-ln(a)$
  4. $ln(a^n)=nln(a)$
Équations et inéquations logarithmiques

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs:

  1. $ln(a)=ln(b) \iff a=b$
  2. $ln(a) < ln(b) \iff a < b$
Limites et croissance comparée

Pour tout nombre entier $n$ strictement positif:

  1. $\lim\limits_{x \to 0^+ }x^{n}ln(x)=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x^n}=0$
  2. Pour $n=1$ on obtient: $\lim\limits_{x \to 0^+ }xln(x)=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x}=0$
Dérivée et logarithme

Soit $x$ un nombre réel strictement positif et $u$ une fonction à valeurs strictement positives.

  1. $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
  2. $(ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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