Fonctions logarithmes

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3 exercices

Étude d'une famille de courbes avec logarithme

Avancé Premium

On considère pour tout entier naturel $n>0$ les fonctions $f_n$ telles que $f_n(x)=\dfrac{ln(x)}{x^n}$ définies sur $]0;~+\infin[$

  1. Montrer que pour tout entier naturel $n>0$, $f_{n}'(x)=\dfrac{1-nln(x)}{x^{n+1}}$
  2. Dresser le tableau de variation de $f_n$ sur $]0;~+\infin[$
  3. En notant $I_n$ le maximum de la fonction $f_n$ sur $]0;~+\infin[$, montrer que les coordonnées de $I_n$ a pour coordonnées $(e^{\frac{1}{n}};~\frac{1}{ne})$.
  4. Montrer que les points $I_n$ appartiennent à la courbe d'équation $y=\dfrac{ln(x)}{e}$.

Logarithme et convexité

Avancé Premium

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On donne ci-dessous la courbe représentative de sa dérivée, $f'$.

  1. Déterminer graphiquement les variations de $f'$ sur $\R$ et en déduire la convexité de $f$ sur $\R$.
  2. Dans la suite de l'exercice, la fonction $f$ est définie sur $\R$ par: $$f(x)=ln(x^2+x+\frac{5}{2})$$Justifier pourquoi la fonction est définie sur $\R$ et calculer les limites de $f$ en $+\infin$ et $-\infin$.
  3. Déterminer une expression de $f'(x)$, la fonction dérivée de $f$, pour tout $x\in \R$.
  4. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
  5. Justifier que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[-\frac{1}{2};~+\infin[$ et en donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
  6. Monter que pour tout $x\in \R$, $f''(x)=\dfrac{-2x^2-2x+4}{(x^2+x+\frac{5}{2})^2}$ et retrouver les résultats de la question 1.

Démonstration de croissance comparée avec le logarithme

Avancé Premium

On aimerait prouver le résultat suivant: $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x}=0$

Méthode 1

On rappelle que $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{e^x}{x}=+\infin$. Pour tout $x\in ]0;~+\infin[$, on pose $X=ln(x)$.

  1. Démontrer que pour tout réel $x\in ]0;~+\infin[$, $\dfrac{ln(x)}{x}=\dfrac{X}{e^X}$.
  2. En déduire que $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x}=0$.

Méthode 2

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;~+\infin[$ par $f(x)=ln(x)-x+1$.

  1. Étudier les variations de $f$ sur $]0;~+\infin[$ et en déduire que pour tout $x\in ]0;~+\infin[$:$$ln(x)\leq x-1$$
  2. En déduire que pour tout $x\in ]0;~+\infin[$:$$\frac{1}{2}ln(x)\leq \sqrt{x}-1$$
  3. Montrer que pour tout $x\in ]1;~+\infin[$, $$0<\frac{ln(x)}{x}\leq \frac{2(\sqrt{x}-1)}{x}$$
  4. En déduire que $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x}=0$.

Résumé de cours

Fonctions logarithmes

Logarithmes

Défintion

La fonction réciproque de la fonction exponentielle $y=e^x$ s'appelle la fonction logarithme népèrien et est définie par: $$\begin{cases} x\mapsto ln(x) \newline ]0;~+\infin[ \to \R \end{cases}$$

Pour tout nombre $a>0$, la fonction logarithme népèrien de $a$ l'unique solution réelle de l'équation $e^x=a$

Lien entre fonctions exponentielles et logarithme népèrien
  1. Pour tout $x\in ]0;~+\infin[$, on a $e^{ln(x)}=x$
  2. Pour tout $x\in \R$, on a $ln(e^x)=x$
Proprietés du logarithme népèrien
  1. La fonction logarithme népèrien est strictement croissante sur $]0;~+\infin[$
  2. $\lim\limits_{x \to 0^+ }ln(x)=-\infin$
  3. $\lim\limits_{n \to +\infin }ln(x)=+\infin$
  4. $ln(1)=0$
  5. si $x>1$ alors $ln(x)>0$, si $ 0 < x < 1 $ alors $ln(x)<0$
Règles de calcul
  1. $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
  2. $ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b)$
  3. $ln(\frac{1}{a})=-ln(a)$
  4. $ln(a^n)=nln(a)$
Équations et inéquations logarithmiques

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs:

  1. $ln(a)=ln(b) \iff a=b$
  2. $ln(a) < ln(b) \iff a < b$
Limites et croissance comparée

Pour tout nombre entier $n$ strictement positif:

  1. $\lim\limits_{x \to 0^+ }x^{n}ln(x)=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x^n}=0$
  2. Pour $n=1$ on obtient: $\lim\limits_{x \to 0^+ }xln(x)=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x}=0$
Dérivée et logarithme

Soit $x$ un nombre réel strictement positif et $u$ une fonction à valeurs strictement positives.

  1. $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
  2. $(ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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