Calculer les dérivées des fonctions suivantes après avoir déterminé leur intervalle de définition et dérivabilité.

1. $f(x)=3(ln(x))^2$
2. $g(x)=5(x+1)^2ln(x)$
3. $h(x)=ln(x^2-5x-6)$
4. $j(x)=ln(1+e^{-10x})$
5. $k(x)=\dfrac{5x-ln(x)}{x^2+1}$

Résoudre les équations suivantes après avoir effectué un changement de variable.

1. $ln(x)^2+ln(x)-12=0$
2. $-3e^x+e^{-x}+2=0$
3. $4ln(x)^2-ln(\dfrac{1}{x})-3=0$
4. $2e^{2x}-11e^x+12=0$

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$, et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=e\times \sqrt{u_n}$$

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$1\leq u_n \leq e^2$$.
2. Démontrer que $(u_n)$ est croissante et en déduire qu'elle est convergente.
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $$v_n=ln(u_n)-2$$
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$
   2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$v_n=-\frac{1}{2^{n-1}}$$
   3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis la limite de la suite $(u_n)$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{ln(x)}{x}$

1. Déterminer l'ensemble de définition $\cal{D}_f$ de $f$.
2. Démontrer que la courbe admet une asymptote horizontale.
3. Déterminer la limite de $f$ en $0$.
4. Étudier les variation de $f$ sur $\cal{D}_f$

On considère pour tout entier naturel $n>0$ les fonctions $f_n$ telles que $f_n(x)=\dfrac{ln(x)}{x^n}$ définies sur $]0;~+\infin[$

1. Montrer que pour tout entier naturel $n>0$, $f_{n}'(x)=\dfrac{1-nln(x)}{x^{n+1}}$
2. Dresser le tableau de variation de $f_n$ sur $]0;~+\infin[$
3. En notant $I_n$ le maximum de la fonction $f_n$ sur $]0;~+\infin[$, montrer que les coordonnées de $I_n$ a pour coordonnées $(e^{\frac{1}{n}};~\frac{1}{ne})$.
4. Montrer que les points $I_n$ appartiennent à la courbe d'équation $y=\dfrac{ln(x)}{e}$.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On donne ci-dessous la courbe représentative de sa dérivée, $f'$.

1. Déterminer graphiquement les variations de $f'$ sur $\R$ et en déduire la convexité de $f$ sur $\R$.
2. Dans la suite de l'exercice, la fonction $f$ est définie sur $\R$ par: $$f(x)=ln(x^2+x+\frac{5}{2})$$Justifier pourquoi la fonction est définie sur $\R$ et calculer les limites de $f$ en $+\infin$ et $-\infin$.
3. Déterminer une expression de $f'(x)$, la fonction dérivée de $f$, pour tout $x\in \R$.
4. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
5. Justifier que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[-\frac{1}{2};~+\infin[$ et en donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
6. Monter que pour tout $x\in \R$, $f''(x)=\dfrac{-2x^2-2x+4}{(x^2+x+\frac{5}{2})^2}$ et retrouver les résultats de la question 1.

On aimerait prouver le résultat suivant: $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x}=0$

Méthode 1

On rappelle que $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{e^x}{x}=+\infin$. Pour tout $x\in ]0;~+\infin[$, on pose $X=ln(x)$.

1. Démontrer que pour tout réel $x\in ]0;~+\infin[$, $\dfrac{ln(x)}{x}=\dfrac{X}{e^X}$.
2. En déduire que $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x}=0$.

Méthode 2

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;~+\infin[$ par $f(x)=ln(x)-x+1$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $]0;~+\infin[$ et en déduire que pour tout $x\in ]0;~+\infin[$:$$ln(x)\leq x-1$$
2. En déduire que pour tout $x\in ]0;~+\infin[$:$$\frac{1}{2}ln(x)\leq \sqrt{x}-1$$
3. Montrer que pour tout $x\in ]1;~+\infin[$, $$0<\frac{ln(x)}{x}\leq \frac{2(\sqrt{x}-1)}{x}$$
4. En déduire que $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{ln(x)}{x}=0$.