Continuité

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Résumé de cours

Continuité

Continuité

Continuité en un point$f$ est continue en $a \in \R$ si seulement si $\lim\limits_{x \to a } f(x)=f(a)$
Continuité sur un intervalle$f$ est continue sur un intervalle $I$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $I$
Continuité des fonctions usuelles
  • Les fonctions polynômes sont continues sur $\R$
  • La fonction valeur absolue est continue sur $\R$
  • La fonction inverse est continue sur $\R^{*}$
  • La fonction racine carrée est continue sur $\R^{+}$
  • La fonction exponentielle est continue sur $\R$
Opérations et continuité
  • La somme de fonctions continues sur $I$ est continue sur $I$
  • Le produit de fonctions continues sur $I$ est continue sur $I$
  • Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$ et si $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors \dfrac{f}{g} est continue sur $I$
Continuité et dérivabilitéSoit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre réel de $I$
  • Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$
  • Si $f$ est dérivable sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$

En d'autres termes, $f$ dérivable $\implies$ $f$ continue

Théorème des valeurs intermédiaires
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout nombre réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a;b]$
Autrement dit tout nombre de l'intervalle $[f(a);f(b)]$ admet au moins un antécédent par $f$ dans $[a;b]$
Théorème des valeurs intermédiaires - Fonctions monotones
Si $f$ est une fonction continue et monotone sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout nombre réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a;b]$
Autrement dit tout nombre de l'intervalle $[f(a);f(b)]$ admet exactement un antécédent par $f$ dans $[a;b]$
Suites et continuité
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ convergeant vers $\alpha \in \R$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin } f(u_n)=f(\alpha)$
Théorème du point fixe
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier $n$.

Si $\lim\limits_{n \to +\infin } u_n=l$ alors $l$ est solution de l'équation $f(x)=x$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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