On souhaite résoudre l'équation $(E): e^x=x+2$ dans $\R$. Pour cela on va étudier la fonction $f(x)=e^x-x-2$

1. Dresser la tableau de variations de $f$ sur $\R$
2. Déterminer le nombre de solutions de $(E)$
3. Préciser ce que fait l'algorithme ci-dessous

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par: $$f(x)=-x^4+2x^3+3x+1$$

1. Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f'$
2. En déduire que l'équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$ notée $\alpha$.
3. Dresser le tableau de signe de $f'$ puis le tableau de variations de $f$.

Soit $f$ la fonction définie par: $$f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-1}-2}{2x-1}$$

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$, les limites aux bornes de $D_f$ et les potentielles équations des asymptotes
2. Dresser le tableau de variation de $f$
3. En déduire le nombre de solution de l'équation $f(x)=0$ sur $D_f$ et en donner une valeur approchée au centième
4. Dresser le tableau de signe de $f$

On considère la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^3}{x-1}$

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ puis dresser le tableau de variations de $f$
2. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$

On considère la suite définie par $\begin{cases}u_{0}=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{4u_n}{1+3u_n}\end{cases}$

1. Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ et donner son ensemble de définition
2. Etudier les variation de $f$ sur $\R$
3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $\frac{1}{2}\leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2$
4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer la valeur de sa limite

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ telle que $\lim\limits_{n \to +\infin }u_n=a et $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Rappeler la définition de "$f$ est continue en $a$"
2. En utilisant la propriété de composition des limites en déduire que $\lim\limits_{n \to +\infin }f(u_n)=f(a)$
3. Conclure

Montrer que l'équation $x^3-5x^2+3x+1=0$ admet exactement trois solutions réelles.

Soit $a$ et $b$ deux réels. On considère la fonction $f$ définie par:

Cette fonction peut-elle être continue sur $\R$? Si oui, pour quelles valeurs de $a$ et $b$?

Soit $f$ la fonction définie par:

Cette fonction est-elle continue en $2$?

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infin$ et $+\infin$ et dresser le tableau de variations de $f$.
2. Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$ et que $\alpha \in ]1;2[$
3. En déduire le signe de $f$ sur $\R$.

On considère la fonction $g$ définie sur $]-1;+\infin[$ par $g(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}$

4. Déterminer la limite de $g$ en $-1$ et $+\infin$
5. Après avoir justifié la dérivabilité de $g$ sur $]-1;+\infin[$, montrer que $g'(x)=\dfrac{f(x)}{(1+x^3)^2}$
6. En déduire le tableau de variation de $g$

Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$ et soit $k$ un nombre réel tel que $k\in [f(a);f(b)]$. On veut prouver qu'il existe un nombre $c\in [a;b]$ tel que $k=f(c)$.

On définit les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que:

1. $a_0=a$ et $b_0=b$
2. si $f(\dfrac{a_n+b_n}{2})\geq k$ alors $a_{n+1}=a_n$ et $b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}$
3. si $f(\dfrac{a_n+b_n}{2})< k$ alors $a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}$ et $b_{n+1}=b$

Pour la suite on pose également la suite $c_n=\dfrac{a_n+b_n}{2}$ ce qui permet de réecrire les conditions précédentes sous la forme plus simple:

1. si $f(c_n)\geq k$ alors $\begin{cases} a_{n+1}=a_n\\ b_{n+1}=c_n\end{cases}$
2. si $f(c_n)< k$ alors $\begin{cases} a_{n+1}=c_n\\ b_{n+1}=b_n\end{cases}$

1. Montrer par récurrence sur $n$ que: $$a\leq a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n \leq b$$
2. Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=b_n-a_n$ pour tout entier $n$ est géométrique et en déduire que $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=0$
3. En déduire que les suites $a_{n}$ et $b_{n}$ convergent vers une même limite notée $L\in [a;b]$
4. Montrer par récurrence que $f(a_n)\leq k \leq f(b_n)$
5. Conclure