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Exercice 4

Polynésie • Jour 2 • 20 juin 2024
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Une commune décide de remplacer le traditionnel feu d'artifice du 14 juillet par un spectacle de drones lumineux.

Pour le pilotage des drones, l'espace est muni d'un repère orthonormé $ Oijk $ dont l'unité est la centaine de mètres.

La position de chaque drone est modélisée par un point et chaque drone est envoyé d'un point de départ $ D $ de coordonnées $ (2~;~5~;~1) $.

On souhaite former avec des drones des figures en les positionnant dans un même plan $ mathcal{P} $.

Trois drones sont positionnés aux points $ A(-1~;~-1~;~17) $, $ B(4~;~-2~;~4) $ et $ C(1~;~-3~;~7) $.

  1. Justifier que les points $ A $, $ B $ et $ C $ ne sont pas alignés.

Dans la suite, on note $ \mathcal{P} $ le plan $ (ABC) $ et on considère le vecteur $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

    1. Justifier que $ \vec{n} $ est normal au plan $ (ABC) $.
    2. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $ \mathcal{P} $ est $$ 2x - 3y + z - 18 = 0. $$

  1. Le pilote des drones décide d'envoyer un quatrième drone en prenant comme trajectoire la droite $ d $ dont une représentation paramétrique est donnée par :

    $$ d~:~\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 3t+2\\ y &=& \phantom{3}t+5\\ z &=& 4t+1 \end{array}\right. \quad \text{, avec } t \in \mathbb{R}. $$

    1. Déterminer un vecteur directeur de la droite $ d $.
    2. Afin que ce nouveau drone soit également placé dans le plan $ \mathcal{P} $, déterminer par le calcul les coordonnées du point $ E $, intersection de la droite $ d $ avec le plan $ \mathcal{P} $.
  1. Le pilote des drones décide d'envoyer un cinquième drone le long de la droite $ \Delta $ qui passe par le point $ D $ et qui est perpendiculaire au plan $ \mathcal{P} $. Ce cinquième drone est placé lui aussi dans le plan $ \mathcal{P} $, soit à l'intersection entre la droite $ \Delta $ et le plan $ \mathcal{P} $. On admet que le point $ F(6~;~-1~;~3) $ correspond à cet emplacement.\n Démontrer que la distance entre le point de départ $ D $ et le plan $ \mathcal{P} $ vaut $ 2\sqrt{14} $ centaines de mètres.
  2. L'organisatrice du spectacle demande au pilote d'envoyer un nouveau drone dans le plan (peu importe sa position dans le plan), toujours à partir du point $ D $.\n Sachant qu'il reste 40 secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à $ 18,6~\text{m.s}^{-1} $, le nouveau drone peut-il arriver à temps ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Polynésie 20 juin 2024 - J2

  1. Vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ non colinéaires. $$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}5\\-1\\-13\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\-2\\-10\end{pmatrix}.$$ Ils ne sont pas proportionnels, donc $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.
    Les points $A$, $B$, $C$ définissent le plan $\mathcal{P}=(ABC)$.
    1. Orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan. $$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=10+3-13=0,\qquad \vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=4+6-10=0.$$
      $\vec{n}$ est normal à $\mathcal{P}$.
    2. Équation $2x-3y+z+d=0$ ; passage par $A$. Avec $A(-1\,;\,-1\,;\,17)$ : $-2+3+17+d=0\implies d=-18$.
      $$2x-3y+z-18=0$$
    1. Coefficients du paramètre $t$.
      $$\vec{d}=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}$$
    2. Injection du paramétrage dans l'équation du plan. $$2(3t+2)-3(t+5)+(4t+1)-18=0\iff 7t-28=0\iff t=4.$$ D'où $E(14\,;\,9\,;\,17)$.
      $$E(14\,;\,9\,;\,17)$$
  4. $(DF)\perp\mathcal{P}$ donc $DF$ est la distance de $D$ à $\mathcal{P}$. $$\overrightarrow{DF}=\begin{pmatrix}4\\-6\\2\end{pmatrix},\quad DF^2=16+36+4=56=4\times 14,\quad DF=2\sqrt{14}.$$
    $$d(D,\mathcal{P})=2\sqrt{14}$$ (en centaines de mètres)
  5. Temps minimal : parcours de longueur $2\sqrt{14}\times 100$~m à $18{,}6$~m·s$^{-1}$. $$t=\dfrac{2\sqrt{14}\times 100}{18{,}6}\approx 40{,}23\text{ s}>40\text{ s}.$$
    Non — le drone n'arrive pas à temps.

Polynésie 20 juin 2024 - J2