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Exercice 1

Polynésie • Jour 2 • 20 juin 2024
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Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes :

  • 60 % des plus de 15 ans ont l'intention de regarder les Jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision ;
  • Parmi ceux qui ont l'intention de regarder les JOP, 8 personnes sur 9 déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants :

  • $ J $ : « la personne a l'intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision » ;
  • $ S $ : « la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière ».

On note $ \overline{J} $ et $ \overline{S} $ leurs évènements contraires.

Dans les questions 1 et 2, les probabilités seront données sous la forme d'une fraction irréductible.

  1. Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}.$

    On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.

Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

    1. Calculer la probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.
    2. En déduire la probabilité de $ S $ sachant $ \overline{J} $, notée $ P_{\overline{J}}(S) $.

Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième.

  1. Dans le cadre d'une opération de promotion, 30 personnes de plus de 15 ans sont choisies au hasard.
    On assimile ce choix à un tirage avec remise.
    On note $ X $ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes.
    1. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $ X $.
    2. Calculer la probabilité qu'exactement 16 personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes.
    3. La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l’épreuve par équipe mixte de judo à l’Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces 30 personnes.
      Le prix d’une place s’élève à 380 € et on dispose d’un budget de 10 000 euros pour cette opération.
      Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Loi binomiale
Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Polynésie 20 juin 2024 - J2

  1. Définition $P(J\cap S)=P(J)\times P_J(S)$. $$P(J)=0{,}6=\dfrac{3}{5},\quad P_J(S)=\dfrac{8}{9},\quad P(J\cap S)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{8}{9}=\dfrac{8}{15}.$$
    $$P(J\cap S)=\dfrac{8}{15}$$
    1. Probabilités totales : $P(S)=P(J\cap S)+P(\overline{J}\cap S)$. Avec $P(S)=\dfrac{2}{3}$ : $$P(\overline{J}\cap S)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{8}{15}=\dfrac{2}{15}.$$
      $$P(\overline{J}\cap S)=\dfrac{2}{15}$$
    2. Définition des probabilités conditionnelles. $$P_{\overline{J}}(S)=\dfrac{P(\overline{J}\cap S)}{P(\overline{J})}=\dfrac{2/15}{2/5}=\dfrac{1}{3}.$$
      $$P_{\overline{J}}(S)=\dfrac{1}{3}$$
    1. Tirage avec remise : schéma de Bernoulli de succès $S$.
      $$X\sim\mathcal{B}\!\left(30\,;\,\dfrac{2}{3}\right)$$
    2. Formule binomiale à la calculatrice. $$P(X=16)=\binom{30}{16}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{16}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{14}\approx 0{,}046.$$
      $$P(X=16)\approx 0{,}046$$
    3. Budget insuffisant ssi $380X>10\,000$, i.e. $X\geqslant 27$. On peut offrir au plus $26$ places. À la calculatrice : $$P(X\leqslant 26)\approx 0{,}997\implies P(X\geqslant 27)=1-P(X\leqslant 26)\approx 0{,}003.$$
      $$P(\text{budget insuffisant})\approx 0{,}003$$

Polynésie 20 juin 2024 - J2