Exercice 4

Exercice 4

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x)$.

   Affirmation 1 :

   $$\int_1^e f(x)\,\mathrm dx=\dfrac{e^2+1}{4}.$$
2. Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels non nuls tels que $k\leqslant n$.

   Affirmation 2 :

   $$n\binom{n-1}{k-1}=k\binom nk.$$
3. Dans l'espace, on considère : $$d:\begin{cases} x=t+1\\ y=2t+1\\ z=-t \end{cases} \quad t\in\mathbb R$$

   et le point $A(-1~;~-3~;~2)$.

   Affirmation 3 : Le point A appartient à la droite $d$.

4. On considère aussi : $$d':\begin{cases} x=2t'-1\\ y=-t'+2\\ z=t'+1 \end{cases} \quad t'\in\mathbb R.$$

   Affirmation 4 : Les droites $d$ et $d'$ sont sécantes.

5. Soit $P$ le plan d'équation cartésienne $2x+y-2z+18=0$, et $B(-5~;~-5~;~6)$.

   Affirmation 5 : Le plan $P$ est le plan médiateur du segment $[AB]$.