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Exercice 2

Polynésie • Jour 1 • 2 septembre 2025
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Exercice 2

On étudie l'évolution de la population d'une espèce animale au sein d'une réserve naturelle.

Les effectifs recensés sont : $50$ individus en 2000, $64$ en 2005, $80$ en 2010 et $100$ en 2015.

On modélise le nombre d'individus en fonction du temps $x$, en années, à partir de l'année 2000.

Partie A : Modèle 1

On suppose que la fonction cherchée satisfait :

$$y'=0,05y-0,5.$$
  1. Résoudre l'équation différentielle avec la condition initiale $y(0)=50$.
  2. Comparer les résultats du tableau avec ceux que l'on obtiendrait avec ce modèle.

Partie B : Modèle 2

On suppose que la fonction cherchée satisfait :

$$y'=0,05y(1-0,00125y).$$

On note $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

$$f(x)=\dfrac{800}{1+15e^{-0,05x}}.$$
  1. Démontrer que $f(0)=50$ et que pour tout $x\in\mathbb R$ : $$f'(x)=0,05f(x)(1-0,00125f(x)).$$
  2. Avec ce nouveau modèle $f$, estimer l'effectif de cette population en 2050. Arrondir le résultat à l'unité.
  3. Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire quant à la courbe ? Interpréter cette limite.
  4. Justifier que la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.
  5. Démontrer le résultat : $$15e^{-0,05x}-1\geqslant0\iff x\leqslant20\ln(15).$$
  6. On admet que la vitesse de croissance est modélisée par $f'$.
    1. Étudier la convexité de $f$ sur $[0~;~+\infty[$ et déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion.
    2. La vitesse de croissance augmente-t-elle pendant un peu plus de cinquante ans, puis diminue-t-elle ? Justifier.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Convexité et dérivée seconde Point d'inflexion Fonction exponentielle Croissances comparées

Solution écrite

Polynésie 2 septembre 2025 J1

Exercice 2

Partie A

  1. Équation $y'=ay+b$ ; réécriture $y'=0,05(y-10)$. $$y(x)=10+Ce^{0,05x}.$$ Avec $y(0)=50$, $C=40$.
    $$y(x)=10+40e^{0,05x}$$
  2. Comparaison modèle / données observées. Le modèle donne environ $50$, $61$, $76$ et $95$ en 2000, 2005, 2010 et 2015, contre $50$, $64$, $80$ et $100$ observés.
    Le modèle est proche mais sous-estime légèrement les effectifs.

Partie B

  1. Vérification de $f(0)$ et de l'équation différentielle logistique. $f(0)=\dfrac{800}{16}=50$. En dérivant $f$, on vérifie $f'(x)=0,05f(x)(1-0,00125f(x))$.
    $f(0)=50$ et $f$ solution de l'équation logistique.
  2. Application numérique pour $x=50$ (année 2050). $$f(50)=\dfrac{800}{1+15e^{-2,5}}\approx358,539.$$
    En 2050, l'effectif estimé est d'environ $359$ individus.
  3. Limite en $+\infty$ ; asymptote horizontale. $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=800.$$
    Asymptote $y=800$ : la population tend vers $800$ individus.
  4. Signe de $f'$ sur $[0\,;\,+\infty[$. $$f'(x)=\dfrac{600e^{-0,05x}}{(1+15e^{-0,05x})^2}>0,$$ donc $f$ est croissante.
    $f$ strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
  5. Équivalence par logarithme (fonction $\ln$ croissante ; attention au signe de $-0,05$). $$15e^{-0,05x}\geqslant1\iff -0,05x\geqslant-\ln15\iff x\leqslant20\ln15.$$
    $$15e^{-0,05x}-1\geqslant0\iff x\leqslant20\ln15$$
    1. Signe de $f''$ celui de $15e^{-0,05x}-1$. $f$ est convexe sur $[0\,;\,20\ln15]$ puis concave sur $[20\ln15\,;\,+\infty[$. Point d'inflexion : $(20\ln15\,;\,400)$.
      Point d'inflexion $(20\ln15\,;\,400)$.
    2. $20\ln15\approx54,16>50$. La vitesse de croissance augmente pendant environ $54$ ans, puis diminue.
      La direction a raison.

Polynésie 2 septembre 2025 J1