Exercice 1

Exercice 1

En France il y a deux formules pour obtenir le permis de conduire : la conduite accompagnée à partir de $15$ ans, ou la formation classique à partir de $17$ ans.

Parmi les jeunes qui suivent une formation au permis de conduire, $16\,\%$ choisissent la conduite accompagnée. Parmi eux, $74,7\,\%$ réussissent l'examen dès la première tentative.

En formation classique, le taux de réussite dès la première tentative est de $56,8\,\%$.

On choisit au hasard un jeune français qui a déjà passé l'examen de conduite et on considère les évènements :

• $A$ : « le jeune a suivi la formation de conduite accompagnée » ;
• $R$ : « le jeune a eu le permis dès sa première tentative ».

Partie A

1. Dresser un arbre de probabilités modélisant cette situation.
2. 1. Démontrer que $P(R)=0,59664$.
   2. Donner ce résultat en pourcentage et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
3. On choisit un jeune ayant eu son permis dès sa première tentative. Quelle est la probabilité qu'il ait suivi la formation de conduite accompagnée ?
4. Quelle devrait être la proportion de jeunes suivant la formation de conduite accompagnée si on voulait que le taux de réussite global dépasse $70\,\%$ ?

Partie B

Une auto-école présente pour la première fois à l'examen de conduite $10$ candidats qui ont suivi la formation de conduite accompagnée.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces $10$ candidats qui auront leur permis dès la première tentative.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,747$.
2. Calculer $P(X\geqslant6)$. Interpréter ce résultat.
3. Déterminer $E(X)$ et $V(X)$.
4. On note $Y$ le nombre de candidats sans conduite accompagnée qui obtiennent le permis dès la première tentative. On admet que $Y$ est indépendante de $X$, que $E(Y)=22,53$ et $V(Y)=9,81$. On note $Z$ le nombre total de candidats parmi les $50$ qui obtiennent le permis dès la première tentative.
   1. Exprimer $Z$ en fonction de $X$ et $Y$. En déduire $E(Z)$ et $V(Z)$.
   2. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité qu'il y ait au plus $20$ ou au moins $40$ candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à $0,12$.