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Exercice 4

Polynésie • Jour 1 • 19 juin 2024
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L'objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d'une suite.

Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$ u_{n+1} = \dfrac{4}{5 - u_n}. $$

Partie A

  1. Recopier et compléter la fonction Python suivante suite(n) qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$.
    2. def suite(n):
    u = ...
    for i in range(n):
        ...
    return u
  2. L'exécution de suite(2) renvoie 1.3333333333333333.
    Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.
  3. À l'aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
>> suite(2) 1.3333333333333333
>> suite(5) 1.0058479532163742
>> suite(10) 1.0000057220349845
>> suite(20) 1.000000000005457

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]-\infty~;~5[$ par :

$$ f(x) = \dfrac{4}{5 - x}. $$

Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N},: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

  1. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~5[$.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $$ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4. $$
    1. Soit $x$ un réel de l'intervalle $]-\infty~;~5[$.
      Prouver l'équivalence suivante : $$ f(x) = x \iff x^2 - 5x + 4 = 0. $$
    2. Résoudre $f(x) = x$ dans l'intervalle $]-\infty~;~5[$.
  4. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    Déterminer sa limite.
  5. Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites

Notions détaillées

Théorème d’encadrement (des gendarmes) Théorème du point fixe Limite de suites Suites récurrentes Algorithme Python

Solution écrite

Polynésie 19 juin 2024 - J1

Partie A

  1. Initialisation $u=3$, puis boucle $u\leftarrow 4/(5-u)$. 
    def suite(n):
    u = 3
    for i in range(n):
        u = 4/(5 - u)
    return u
    Fonction complétée comme ci-dessus.
  2. Calculs successifs de $u_1$ et $u_2$. $$u_1=\dfrac{4}{5-3}=2,\qquad u_2=\dfrac{4}{5-2}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}333.$$
    L'affichage de suite(2) correspond à $u_2=4/3$.
  3. Lecture des valeurs $u_2$, $u_5$, $u_{10}$, $u_{20}$. Les termes semblent décroître et se rapprocher de $1$.
    Conjecture : $(u_n)$ décroissante et convergente vers $1$.

Partie B

  1. Dérivée d'un quotient $4/(5-x)$. $$f'(x)=\dfrac{4}{(5-x)^2}>0\quad\text{sur }]-\infty\,;\,5[.$$
    $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;\,5[$.
  2. Récurrence ; $f$ croissante et $f(1)=1$, $f(4)=4$. Initialisation : $1\leqslant u_1=2\leqslant u_0=3\leqslant 4$. Si $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4$, alors $f(1)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)\leqslant f(4)$, soit $1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$.
    Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4.$$
    1. Équivalence algébrique pour $x<5$. $$f(x)=x\iff\dfrac{4}{5-x}=x\iff x^2-5x+4=0.$$
      Équivalence démontrée.
    2. Racines du trinôme $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$.
      $$S=\{1\,;\,4\}$$
  4. Suite décroissante minorée ; passage à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$. $(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$, donc convergente vers $\ell\geqslant 1$. Par continuité, $\ell=f(\ell)$, donc $\ell\in\{1\,;\,4\}$. Comme la suite décroît depuis $u_0=3$, on a $\ell=1$.
    $$\lim_{n\to+\infty}u_n=1$$
  5. Point fixe $4$ : suite constante. Si $u_0=4$, alors $u_1=f(4)=4$, et par récurrence $u_n=4$ pour tout $n$.
    Non : la suite est constante égale à $4$ (converge vers $4$).

Polynésie 19 juin 2024 - J1