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Exercice 3

Polynésie • Jour 1 • 19 juin 2024
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Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles.

Partie A

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».

  1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
  2. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ :
$k$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P(X=k)$

Partie B

Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais :

  • On lance trois pièces équilibrées :
    • Si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée ;
    • Sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».
  • La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.

On considère les évènements suivants :

  • $G$ : « la partie est gagnée ».
    Et pour tout entier $k$ compris entre 0 et 3, les évènements :
  • $A_k$ : « $k$ pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ».
  1. Démontrer que $P_{A_1}(G) = \dfrac14$.
  2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
  3. Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p = \dfrac{27}{64}$.
  4. La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?
  5. Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Loi binomiale
Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Formule des probabilités totales Indépendance d'événements Arbres pondérés

Solution écrite

Polynésie 19 juin 2024 - J1

Partie A

  1. Schéma de Bernoulli : répétitions indépendantes, succès « Face ».
    $$X\sim\mathcal{B}\!\left(3\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$$
  2. Formule $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. $$P(X=0)=\dfrac{1}{8},\quad P(X=1)=\dfrac{3}{8},\quad P(X=2)=\dfrac{3}{8},\quad P(X=3)=\dfrac{1}{8}.$$
    Tableau : $\tfrac18$, $\tfrac38$, $\tfrac38$, $\tfrac18$.

Partie B

  1. Sachant $A_1$, il reste deux pièces à relancer ; succès si FF. Quatre issues équiprobables PP, PF, FP, FF ; une seule favorable.
    $$P_{A_1}(G)=\dfrac{1}{4}$$
  2. Branches $A_k$ issues de la loi binomiale ; $P_{A_k}(G)$ selon le nombre de piles à relancer. $$P_{A_0}(G)=\dfrac{1}{8},\; P_{A_1}(G)=\dfrac{1}{4},\; P_{A_2}(G)=\dfrac{1}{2},\; P_{A_3}(G)=1.$$
    Arbre complété avec les probabilités ci-dessus.
  3. Formule des probabilités totales. $$p=\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}\cdot 1=\dfrac{27}{64}.$$
    $$p=\dfrac{27}{64}$$
  4. Formule de Bayes : $P_G(A_1)$. $$P_G(A_1)=\dfrac{P(A_1\cap G)}{P(G)}=\dfrac{\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{4}}{\frac{27}{64}}=\dfrac{2}{9}.$$
    $$P_G(A_1)=\dfrac{2}{9}$$
  5. Loi binomiale puis $P(Z\geqslant 1)=1-(1-p)^n>0{,}95$. Avec $Z\sim\mathcal{B}\!\bigl(n\,;\,\tfrac{27}{64}\bigr)$ : $$1-\left(\dfrac{37}{64}\right)^n>0{,}95\iff n>\dfrac{\ln(0{,}05)}{\ln(37/64)}\approx 5{,}46.$$
    Il faut jouer au moins $6$ parties.

Polynésie 19 juin 2024 - J1